к.т.н. Н.Р. Юничева

Институт проблем информатики и управления МОН РК, Казахстан

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ДЛЯ СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С НЕТОЧНЫМИ ДАННЫМИ

В статье представлена процедура решения задачи параметрического синтеза управления, которая сведена к разрешимости системы интервальных алгебраических уравнений. Для полученной системы решение найдено в классе «управляемых» решений.

Уже неоднократно отмечалось, что реальные технические объекты, функционируют в условиях параметрической неопределенности. Неопределенность подобного рода обусловлена наличием неконтролируемых возмущений, действующих на объекты управления, по причине незнания истинных значений параметров объекта управления из-за сложности технологического процесса, а иногда и непредсказуемым изменением их во времени. Почти во всех случаях вышеупомянутая параметрическая неопределенность характеризуется принадлежностью реальных значений параметров технического объекта некоторым интервалам, границы которых априорно известны. Их математические модели могут быть представлены системами интервальных дифференциальных или разностных уравнений с использованием правил и обозначений интервального анализа [1], а класс таких объектов управления принято называть интервально-заданными.

Таким образом, возникает задача управления не единственным объектом, а семейством или множеством объектов.

Как было отмечено, поставленная задача сведена к разрешимости системы линейных интервальных алгебраических включений [2] следующего вида:

, (1)

Cмысл вкладываемый в понятие «решения» интервальной системы включений типа (1) требует специального уточнения, т.к. интервальная неопределенность данных системы может трактоваться двояко, в соответствии с двойственным пониманием самих интервалов. В первом случае, интервал является множеством всех вещественных чисел от до , а во втором - вмещать в себя хотя бы одно значение между и . С точки зрения математики, это различие выражается употреблением кванторов всеобщности и квантора существования : в первом случае записывается , а во втором . Что касается параметров системы линейных интервальных уравнений , о которых известна лишь принадлежность некоторым интервалам, то принципиальное различие между двумя типами интервальной неопределенности проявляется как различие между параметрами, которые могут изменяться в пределах указанных им интервалов как следствие внешних непредсказуемых возмущений и параметрами, которыми мы можем варьировать в пределах заданных интервалов по своей воле, т.е. управлять ими.

В интервальном анализе существуют следующие различные определения понятий решения интервальной системы алгебраических интервальных уравнений [1]:

Объединенное множество решений,

, (2)

которое образуется решениями всех систем с и .

Допустимое множество решений

, (3)

которое образуется всеми такими векторами , что произведение попадает в для любой .

Управляемое множество решений

, (4)

образованное такими векторами , что для любого желаемого можно подобрать соответствующую удовлетворяющую .

Задача построения множества вида (4) является задачей управления.

В представленной работе задача параметрического синтеза управления, по аналогии с [2,3] сведена к разрешимости системы интервальных алгебраических включений.

Задача отыскания решения полученной системы является NP -трудной. Для упрощения задачи и облегчения вычислительных трудностей выделим из интервального вектора настраиваемых параметров точечный вектор (или вектор середин) и используем его в качестве начального приближения. Решение будем искать в классе «управляемых» решений.

В 1992 году Шарый С.П. ввел понятие «управляемые решения». Данное название объясняется тем фактом, что каждый вектор может быть достигнут произведением в результате подходящего управления или настройки коэффициентов матрицы в пределах .

Вектор называется управляющим решением системы , если для каждого существует матрица, такая, что или иначе

Воспользуемся доказательством, приведенным в [4]. Для управляемых решений справедливо следующее математическое описание.

Допустим, что управляемое решение системы , тогда удовлетворяет неравенству

.

Доказательство: если вектор есть управляемое решение, то он удовлетворяет вложению, которое влечет

и

.

Следовательно,

Таким образом, полученные управляемые решения можно использовать в качестве в качестве начального приближения при построении интервального вектора настраиваемых параметров.

Литература

1. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективние алгоритмы для решения задач управления и стабилизации // Вычислительные технологии, 1995. Т 4. С. 331-356

2. Yunicheva N.R. Questions of the analysis and synthesis of control systems by objects in uncertainty conditions. Almaty, Printing house «Сlassics». 2011. –95p.

3. Khlebalin N.A. Modal Control of Plants with Uncertain Interval Parameters, in: Proc. Intern. Workshop «Control System Syntesis: Theory and Application», Novosibirsk, 1991. -P. 168-173.

4. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.: Институт компьютерных исследований. 2007. - 467с.