КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

ТАБЛИЧНО-ЗАДАННОЙ ФУНКЦИИ

Сухов Я.И., Гарькина И.А.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

При разработке тренажных и обучающих комплексов для подготовки операторов мобильных систем одной из актуальных задач является кусочно-линейная аппроксимация таблично-заданной функции системой функций из условий максимальной длительности интервалов аппроксимации и при совпадении узлов аппроксимации. Наличие двух критериев порождает неоднозначность в постановке задачи: возможны вариации в алгоритме, не влияющие на решение поставленной задачи. Приведем алгоритм аппроксимации, который использовался при разработке имитатора динамики полета тренажера транспортного самолета.

Блок ввода данных. Вводятся: функция , интервал , относительная погрешность аппроксимации в %. Функция реализуется в виде программы, позволяющей вычислить ее значение в любой точке или, хотя бы, в точках (), расположенных достаточно плотно: , .

При реализации программы используются таблица ; число точек табулирования, абсолютная погрешность аппроксимации ; принимлось .

Блок табулирования. Блок можно организовать различными способами с учетом имеющейся и дополнительной информации о функции (если таковая имеется).

Алгоритм включает вычисление

; ;

при .

Если , то необходимая информация получена. Если же , то, уменьшается в два раза и продолжаются указанные вычисления ( и можно не вычислять, они уже получены с достаточной точностью). Для сокращения вычислений таблицу следует лишь дополнить отсутствующими значениями.

Блок кусочно-линейной аппроксимации. Кусочно-линейная аппроксимация функции (обозначается ) определяется таблицей (- узлы аппроксимации, - число узлов; - интервалы аппроксимации, - угловые коэффициенты). Справедливо:

;;

; .

В силу непрерывности имеем: .

Таким образом, для кусочно-линейной аппроксимации достаточно вычисления для значений (параметры уже определены при табулировании функции в предыдущем блоке). Для удобства пользования значения ; сохраняются в памяти ЭВМ.

Максимальность интервалов аппроксимации следует из используемого ниже алгоритма, где точка , определяется как максимально удаленная от (считая, что уже вычислены). Предполагается:

; , .

Алгоритм вычисления . Полагая по значениям вычисляются значения , а затем

. Точка будет одной из точек (точек табулирования).

Алгоритм вычисления . 1).Для точки табулирования проверяется условие , (1)

где - номер точки табулирования , соответствующей (). Переход к п.2.

2). Как только условие при некотором нарушается, то запоминается как ; номер запоминается как ; принимается . Переход к п.3.

3. Проверяется условие (1) для .

3.1. Если условие (1) для всех не выполняется, то принимается (весь интервал оказывается «интервалом запрета»). Осуществляется переход к вычислению (принимается ).

3.2. Если условие (1) для некоторого выполняется (пройден «интервал запрета»), то переход к п.1. ( не увеличивается).

Так будут определены все тройки . В последней тройке достаточно вычислить лишь и .

Если при выполнении условия (1) при некотором окажется, что , то ; . Завершение вычислений.

Предлагаемый алгоритм эффективно использовался при разработке комплексов для подготовки операторов и других мобильных систем.