Сериков В.И., Воронин С.В., Воронина О.А.

Липецкий государственный технический университет, Россия

Иерархия волновых уравнений от обобщения уравнения Бюргерса к уравнениям квантовой теории

В работе [1] нами было показано, что уравнение Бюргерса

с помощью замены переменных , , где , , ( – константы), и обобщения подстановки Хопфа – Коула приводятся к уравнению типа одномерного уравнения Шрёдингера . Можно достигнуть полного совпадения с уравнением Шрёдингера, если определить константу равенством . Рассматривая величину c как константу релятивистской теории, можно также записать . Дальнейшее обобщение достигается переходом к трёхмерной форме. Тогда обобщённое уравнение Бюргерса и соответствующая подстановка типа Хопфа – Коула принимают вид

, (1)

. (2)

В этом случае обобщённое уравнение Бюргерса приводится к трёхмерному уравнению Шрёдингера для свободной частицы

. (3)

Вводя, обычным образом, квантовые операторы , , уравнение (3) можно записать в виде

, (4)

что позволяет перейти к дальнейшему обобщению уравнения (1) и подстановки (2) переходом к релятивистским аналогам операторов.

Тогда обобщённое уравнение Бюргерса можно представить в форме

, (5)

Здесь и ниже по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Соответствующая обобщённая подстановка Хопфа – Коула принимает вид

. (6)

Здесь приняты стандартные [2] обозначения: и, соответственно, , а также ; ; и, кроме того, оператор Даламбера имеет вид .

Подставляя выражение (6) в уравнение (5), приходим к модифицированному уравнению Клейна – Гордона [3] в форме

. (7)

Записывая модифицированное уравнение Клейна – Гордона в виде

(8)

с помощью преобразования можно перейти к обычному уравнению Клейна – Гордона для функции и методом факторизации привести его к уравнению Дирака. Таким образом, мы получаем своеобразную иерархию волновых уравнений от обобщённого уравнения Бюргерса и соответствующей подстановки типа Хопфа – Коула до уравнения Дирака. Это построение может быть углублено введением в обобщённое уравнение Бюргерса (4) члена, отвечающего потенциальной энергии. Тогда уравнение (4) принимает вид

. (9)

Здесь – оператор Гамильтона нерелятивистской частицы. С помощью подстановки (2) это уравнение приводится к уравнению Шрёдингера для частицы в силовом поле с потенциальной энергией U(r). Такая форма обобщённого уравнения позволяет рассматривать связь определённых решений нелинейного уравнения (9) с различными кантовыми моделями, определяющими поведение частицы в заданном потенциальном поле. В электростатическом поле уравнение (9) можно записать в форме

. (10)

Переход к релятивистским аналогам операторов приводит к уравнению

, (11)

где . Легко видеть, что в нерелятивистском пределе уравнение (11) переходит в уравнение (10). Это позволяет и для случая электрического поля построить иерархию, поскольку уравнение (11) приводит к модифицированному уравнению Клейна – Гордона в виде

. (12)

После чего, с учётом замечания, сделанного к уравнению (8), можно перейти к уравнению Дирака. В магнитном поле необходимо совершить переход к оператору обобщённого импульса , , , а обобщённое преобразование Хопфа – Коула принимает вид

. (13)

Используя подстановку (13) в уравнении (4) и производя необходимые преобразования, представим обобщённое уравнение Бюргерса в форме

, (14)

где , где – тензор электромагнитного поля. Это уравнение приводит к уравнению Шрёдингера в магнитном поле

. (15)

Комбинируя правые части уравнений (14) и (10), мы придём к уравнению, которое приводит к уравнению Шрёдингера в электромагнитном поле

. (16)

Для перехода к релятивистским аналогам операторов необходимо представить обобщённую подстановку Хопфа – Коула в форме

, (17)

где , Здесь ; и . В дальнейшем необходимо учесть также коммутационные соотношения[4] и, кроме того, , где – метрический тензор СТО. Выполняя необходимые преобразования, обобщённое уравнение Бюргерса запишем в виде

(18)

,

где .

Это уравнение с подстановкой (17) приводит к модифицированному уравнению Клейна – Гордона в форме

, (19)

которое можно также представить в форме

. (20)

Уравнение (20) с помощью преобразования, указанного выше, приводится к уравнению Клейна – Гордона в электромагнитном поле, а затем факторизацией к соответствующему уравнению Дирака. В частности, если положить , то уравнение (18) переходит в уравнение (11), а для случая магнитного поля преобразуется в уравнение (14). Таким образом, в электромагнитном поле также может быть построена иерархия уравнений на основании обобщённого уравнения Бюргерса (18).

Литература.

1. Сериков, В.И. Связь обобщённого уравнения Бюргерса с уравнениями квантовой теории [Текст]: / В.И.Сериков, С.В.Воронин, О.А. Воронина // Найновите достижения на европейската наука: Материалы VIII международной научно – практической конференции (17 -25 июня 2012 г). Т.18. – София, 2012. – С.16-19.

2. Кейн, Г. Современная физика элементарных частиц [Текст]: моногр.: пер. с англ. / Г. Кейн. – М.: Мир, 1990. – 360 с.

3. Сериков, В.И. Релятивистское уравнение Шрёдингера и принцип соответствия [Текст]: / В.И.Сериков, С.В.Воронин, О.А. Воронина // Вести высших учебных заведений Черноземья. – 2008. – №1(11). – С.50-55.

4. Берестецкий, В.Б. Теоретическая физика в 10 т. [Текст]: Т.IV/ Квантовая электродинамика: учеб. пособие / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. – М.: Наука, 1989. – 728 с.