Технические науки/2. Механика

Аспирант Афанасов Е.Н.

Санкт–Петербургский государственный морской технический университет, Россия

Плоская задача обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса

Задача об установившемся обтекании твердого тела вязкой несжимаемой жидкостью описывается системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса и уравнением неразрывности. Уравнения Навье-Стокса нелинейны, что существенно затрудняет их решение. Точные решения удается получить в очень редких частных случаях. Вследствие этого используют приближенные методы, основанные на том, что нелинейные конвективные члены в уравнениях Навье-Стокса отбрасываются полностью (уравнения Стокса [3]) или линеаризуются «на фоне» однородного потока (уравнения Озеена [3]).

При малых числах Рейнольдса линеаризация уравнений Навье-Стокса оправдана. Такие течения принято называть «ползущими» [4].

Известно, что в теории «ползущих» течений, при решении плоской задачи обтекания контура, уравнения Стокса не имеют решения.

В [2] были предложены уравнения новой модели «ползущих» течений, позволяющие сформулировать плоскую задачу обтекания в виде уравнений, в которых конвективные члены линеаризуются «на фоне» решения задачи идеального обтекания.

При построении численного метода решения этих уравнений применен переход к новым независимым координатам – потенциалу и функции тока при обтекании плоского контура идеальной жидкостью. В таких координатах область решения всегда представляет собой внешность некоторого отрезка, что облегчает построение разностной схемы аппроксимирующей поставленную краевую задачу [1, 2].

Уравнения для завихренности и скоростей образуют замкнутую систему, которая решается методом последовательных приближений, поскольку граничное условие для завихренности на контуре отсутствует.

Если завихренность определена, то можно найти давление.

Разработанный численный алгоритм решения плоской задачи можно перенести и на уравнения Озеена. При этом задача также формулируется в виде уравнений для завихренности, составляющих скорости и давления.

Численный метод решения рассматривается на примере задачи о продольном обтекании эллипса (скорость однородного потока направлена вдоль большой оси эллипса) равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Для этой задачи имеются результаты, полученные при численном решении уравнений Навье-Стокса [5].

Целью расчетов являлись вычисление коэффициента сопротивления и построение картин установившегося симметричного обтекания.

Результаты расчета коэффициента сопротивления на основе предложенных методов сравниваются с теоретическим (приближенным) решением, полученным с помощью метода Озеена [3] и с результатами численного решения уравнений Навье-Стокса.

Показано, что расчеты коэффициента сопротивления и картин установившегося обтекания по предлагаемому в работе методу дают хорошее соответствие с данными полученными в [5] и при этом область применимости предложенной теории существенно шире, чем область применения теории Озеена.

Литература:

1. Кадыров С.Г., Афанасов Е.Н. Новая модель «ползущих» течений вязкой несжимаемой жидкости, стр. 127/ Моделирование, управление и устойчивость (MCS-2012): межд. конф.; Севастополь, 10-14 сентября 2012 г./ отв. ред. О.В. Анашкин; Таврический нац. ун-т имени В.И. Вернадского. – Симферополь: ДИАЙПИ, 2012. – 201 с.

2. Кадыров С.Г., Афанасов Е.Н. Об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса, Труды Крыловского государственного научного центра, 2013, вып. 73 (357), стр. 165-172.

3. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974.

5. Dennis S.C.R, Young P.J.S. Steady flow past an elliptic cylinder inclined to the stream. Journal of Engineering Mathematics, 47, 2003, pp. 101-120.