Доктор физ

Доктор физ.-мат. наук А.В. Макаричев, А. А. Кудь, А.Б.Щукин

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

Национальный аэрокосмический университет «ХАИ»

ИНВАРИАНТНАЯ ДИСЦИПЛИНА В МНОГОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ БЕЗ ОЖИДАНИЯ

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания, состоящую из обслуживающих приборов с входящим пуассоновским простейшим потоком требований с параметром и функцией распределения длины требования . Приведем описание дисциплины обслуживания в этой системе. Если в системе массового обслуживания есть один или несколько свободных приборов, поступающее требование занимает свободный обслуживающий прибор и обслуживается на нем со скоростью единица. Если же в системе число требований больше, чем число приборов, то все требования в системе обслуживаются с одинаковой скоростью так, что сумма их скоростей обслуживания равна .

Обозначим

математическое ожидание длины требования,

нагрузку на систему массового обслуживания. Обозначим через общее число требований в системе массового обслуживания. Оставшуюся длину дообслуживания го требования (нумерация идет от единицы в порядке поступления – меньший номер у ранее пришедшего требования) обозначим через. Случайный процесс

показывает состояние процесса обслуживания в многоканальной системе в момент времени . Обозначим ,

, .

Вероятности того, что в системе массового обслуживания в момент находятся ровно требований, определяются по формулам:

при ,

а соответствующие стационарные вероятности существуют когда [1] и равны ,

, ,

Следуя нашим великим учителям [1-5], составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для стационарных вероятностей состояний случайного процесса: , когда ,

, при

при .

Составим так же уравнения Колмогорова в частных производных для стационарных вероятностей состояний случайного процесса

и для .

Группируя равные нулю суммы слагаемых в уравнениях, представим решение данной бесконечной системы дифференциальных уравнений в частных производных для стационарных вероятностей состояний случайного процесса в виде

, при

, при , где

в чем можно убедиться, непосредственно подставляя его в дифференциальные уравнения. Отсюда при

при и

при .

Заметим, что при таком характере обслуживания требований в многоканальной системе стационарные вероятности состояний случайного процесса числа требований в системе при фиксированном математическом ожидании времени обслуживания требований не зависят от вида его функции распределения.

Предположим, что входящий поток требований является результатом наложения простейших потоков с интенсивностями ,

от источников. Обозначим через , . Тогда стационарные вероятности того, что в системе обслуживания находятся ровно требований и среди них ровно требований из -го источника, , определяются по формулам