УДК 622.012.658.5

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКИ В ДИСКРЕТИЗАЦИИ ОБЛАСТИ

Э.К.Абдылдаев д.т.н., профессор, С.А.Саякова, А.С.Коунышпаева,

4-курс студентки, Алматинский технологический университет

Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований. Появление качественно новых компьютеров с большими быстродействиями и объемами памяти вызвало интенсивное развитие численных методов решения практических задач геомеханики. Наиболее распространенным численным методом решения линейных и нелинейных задач геомеханики является метод конечных элементов. Основная идея метода конечных элементов (МКЭ) состоит в том, что любую непрерывную величину, такую как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг к решению задач.

В дискретизации рассматриваемой области массива широкое применение получили треугольные элементы из-за удобства конструирования сети конечных элементов. В большинстве случаев конструирование сети элементов производится вручную и представляет собою трудоемкую операцию, особенно если число элементов велико. При этом трудоемкость заключается не только в разбиении области на элементы, нумерации узлов и элементов, вычислении координат каждого узла, но и в необходимости определения для каждого элемента номеров окружающих его узлов. Все это требует, в конечном счете, задания большого объема вводимой информации. От того, как будет сконструирована сеть элементов, существенно зависит эффективность работы МКЭ. В силу этого оправданы усилия на разработку приемов автоматизации конструирования сетей конечных элементов для получения эффективной дискретизации области и значительного сокращения объема вводимой информации.

Рассмотрим разбиение четырехугольной области на треугольные элементы. Пусть число узловых точек на противоположных сторонах одинаково, на смежных же сторонах оно может и не совпадать. Если число узлов на смежных сторонах соответственно равно n и m, то четырехугольная область будет разбита на 2(n-1)(m-1) треугольников и получится n*m узловых точек, если соединять узлы на противоположных сторонах. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатом, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью. Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используется для построения дискретной модели реального тела.

При разбиении с одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных значениях, с тем, чтобы можно уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться и увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.

Для получения эффективной дискретизации области и значительного сокращения объема вводимой информации в работе [1] предложен алгоритм, принцип действия которого заключается в следующем: первоначально область покрывается исходной прямоугольной сеткой, которая впоследствии перестраивается с учетом фактической геометрии области. Имеется возможность добиваться необходимого сгущения сетки в некоторых подобластях исходной области. На втором этапе в каждую из точек, которые определяют геометрию области, переносится ближайший узел сетки. Следует отметить, что в данной работе не задан математический аппарат перестраивания исходной прямоугольной сетки с учетом фактической геометрии области, кроме этого не дается математический механизм переноса точки в ближайший узел сетки.

В рабете [2] предложена программа разбиение области, где исходная область всегда задается в виде квадрата и восемь исходных точек. При этом точками являются вершины квадрата и 4 точки между вершинами. Не достатком данной программы является то, что исходная область всегда задается в виде квадрата, что неприменима для выпуклой замкнутой области.

В предложенном нами метода средних точек все выше указание недостатки учитываются. Достоинством этого метода является его процедурность и применимость в любом языка программирования. В нахождении координат узлов применяется строгий математический аппарат. В программе предусмотрен разбиение двумерной области методом средних точек на линейные треугольные элементы. Для иллюстрации выбрана двумерная область, где идеи могут быть обобщены на случай трехмерного тела. При разбиении любой двумерной области на элементы сначала область делится на четырехугольные и треугольные подобласти, или зоны, которые затем подразделяются на треугольники. Границы между подобластями должны проходить там, где изменяются геометрия, приложенная нагрузка и свойства материала. Метод разбиения средней точкой является одним из эффективных способов дискретизации области в двумерной области. Здесь разбиение области (тела) включает задание числа узлов, размеры и формы выпуклой подобласти, которые используются для построения дискретной модели тела. Примеры построенных сеток треугольных элементов иллюстрируют работу алгоритма, применение которого позволяет намного ускорить подготовку исходных данных для расчетов.

После того, как закончено решение конкретной задачи на ПК, результаты могут быть представлены в виде таблиц. Для повышения их информативности необходимо расчетные данные обработать на графопостроителе и дать их в виде изолинии. В настоящее время разработаны способы обработки информации с применением средств машинной графики. Рассмотрим разработанный нами способ.

Пусть заданы координаты точек на плоскости П={ xÎ [a,b], yÎ [ c, d] }. Необходимо получить, на П графические изображения (изолинии) функций вида z = f(x,y), где значения z определены на вершинах нерегулярной треугольной конечно- элементной сетки. Для построения изолинии, выбираем из расчетной схемы регулярную прямоугольную сетку с наименьшими шагами h_x и h_y по оси x и y соответственно . Допустим, что центр регулярной сетки окружен вершинами z₁, z₂,z₃- треугольника 1. Тогда значение функции z для построения изолинии вычислим как среднее по формуле z_c = (z₁+z₂+z₃)/ 3.

Повторяем этот процесс для всех элементов, при этом полученый массив значения z будут расположены в центрах регулярной сетки. Для прямоугольников которые попали внутри выработок принимаем значения z_с=-10^-20, что означает пустоту. Находим в регулярной сетки max{z_c}=z_max, min{z_c}=z_min где cÎd. Тогда значение изолинии будет определяться из условия:

z_i= ( z_max- z_min ) (i-1) / n + z_min + D z_q

где i = 1,2... k+1; D z_q - добавок для получения легко читаемых чисел; n - число, которое показывает густоты изолиний.

Для обработки результатов использована система математического обеспечения графопостроителя.

Литература

1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов- М.;Мир.; 1979.

2. Абдылдаев Э.К. Напряженно- деформирование состояние массива горных пород вблизи выработок -Ф.; Илим.; 1990.