К. ф.-м. н. Сериков В.И., к. ф.-м. н. Воронин С.В.

Липецкий государственный технический университет, Россия

Особенности метода псевдопотенциалов, связанные с обобщёнными уравнениями Бюргерса.

Метод псевдопотенциала является эффективным средством для поиска решений обобщенных уравнений Бюргерса. В работе [1] он применяется к 1+1 -  мерному  уравнению. Ниже мы развиваем этот метод для 3+1 – мерного обобщённого уравнения Бюргерса, как при отсутствии, так и при наличии внешнего силового поля.

Обобщённое уравнение Бюргерса имеет вид [2]

 .                                           (1)

Введём новые функции qi (i=1,2,3…N) и запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка в виде

 ,                                                   (2)

 .                                                   3)

Векторный характер величин  определяется 3-мерным оператором   , 3- вектором является также и величина , тогда как величина q является вектором N-мерного пространства. Градиент в этом пространстве в дальнейшем обозначается ,а основное требование теории псевдопотенциала для системы уравнений (2,3) имеет вид:

 ,                                                     4)

Поскольку в методе псевдопотенциала функции ,,,… задаются независимо в некоторой точке, то производная  локально не зависит от перечисленных величин и, поэтому, необходимым условием выполнения (4) является

 .                                                          (5)

Исключение также членов, содержащих вторые производные , приводит к требованию

,                                                     (6)

откуда следует   

.                                  (7)

Требование того, чтобы в уравнении (4) коэффициент при  (т.е. ) равнялся нулю, приводит к соотношению

.                                                            (8)

Приравнивая в (4) к нулю коэффициент при , после интегрирования получаем

.                (9)

В [1] показано, что, при существовании псевдопотенциала, всегда существует возможность построить линеаризованный потенциал. Поэтому зависимости (8) и (9) можно записать в форме

,                                    (10)

          .        (11)

C использованием (10), имеем

.                           (12)

Используя (7, 10, 12) в (4) и приравнивая к нулю коэффициенты при соответствующих величинах, получаем систему матричных уравнений

 ,                                        (13)

 ,                         (14)

 .                                      (15)

Наиболее простое решение системы уравнений (13, 14, 15) для индексов, пробегающих значения i,k,m=1,2,3 имеет вид

  ,                                          (16)

так, что соотношения (10) и (12) принимают вид

,                                            (17)

, .                                             (18)

А соотношение (7) можно представить в форме

.                                      (19)

С учётом соотношений (17) и (19) дифференциальные уравнения первого порядка (2) и (3) принимают вид

 ,                                                 (20)

 ,                                        (21)

 для N=1 уравнения можно записать в форме

,                                                  (22)

из которой следует, что можно рассматривать как потенциал и

.                                     (23)

Применяя к уравнению (23) оператор , используя уравнение (22) в левой части, представляющее собой преобразование Хопфа-Коула, приходим к уравнению Бюргерса-Шрёдингера. Использование преобразования (22) в правой части уравнения (23) приводит к уравнению Шрёдингера для свободной частицы.Рассмотрим теперь обобщённое уравнение Бюргерса  отвечающее уравнению Шрёдингера в силовом поле . Уравнение Бюргерса  запишем в виде [3]

 .                                  (24)

Cистему дифференциальных уравнений первого порядка запишем в форме

,                                                      (25)

.                                              (26)

Функция  является в этом случае однокомпонентной, т.е. отвечает пространству с N=1. Основное требование теории псевдопотенциала  и применение рассмотренного выше метода приводит к уравнению

,                                          (27)

где ,, тогда из (27) имеем

 .                                      (28)

После этого система дифференциальных уравнений первого порядка (25, 26) принимает вид

,                                                        (29)

где   , как и выше в (21),      

                                                                         (30)

Если в заданном силовом поле  рассматривать для уравнения Шрёдингера задачу на собственные значения, то, с учётом разделения переменных имеем

,                                                  (31)

.                               (32)

Исключение  из уравнения (32) при помощи (31) приводит к стационарному уравнению Шрёдингера

.                                        (33)

В 1+1- мерном случае можно рассмотреть стационарное уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пешля – Теллера [5]

.                                      (34)

Значениям параметра отвечают решения типа стоячих волн. Для отрицательного значения γ имеем

  ,                                      (35)

а для положительного значения   имеем

.                                      (36)

Соответствующие решения обобщённого уравнения Бюргерса находятся с помощью (31) и имеют вид

, для для . .                (37)

В заключение отметим, что в уравнении типа (32) можно выбрать потенциальную энергию вида  и записать пару уравнений

,                                                    (38)

,                             (39)

в которых исключение функции  приводит к кубическому уравнению Шрёдингера

 .                            (40)

 

Литература:

1.     Абловиц М. Солитоны и метод обратной задачи [Текст]:/ М. Абловиц, Х. Сигур. Солитоны и метод обратной задачи. Пер. с англ., М.: Мир, 1987. – 479 с., ил.

2.     Сериков В.И. Иерархия волновых уравнений от обобщения уравнения Бюргерса к уравнениям квантовой теории [Текст]:/В.И.Сериков, С.В. Воронин, О.А. Воронина// Veda a Technjljgie: Krok do budoucnosti-2014: Материалы X научно – практической конференции (27.02.2014 – 05.03.2014). Т.29. – Praha, 2014. – С.77 – 81.

3.     Сериков В.И. Квантовый подход к построению трёхмерного уравнения Бюргерса [Текст]:/ Сериков В.И.,Воронин С.В.Prospekts of world science,-2015: Materials of the XI International scientific and practical conference. Volume 9. Physics. Modern information technologies. Sheffield, Science and education LTD, 2015.

4.     Миура Роберт М. Уравнение Кортевега – Вриза – модельное уравнение для нелинейных волн в средах с дисперсией. [Текст]:/ в сб. Нелинейные волны, под ред. С.Лейбовича и А.Сибасса,  пер с англ. М. «Мир» 1977. – 319 с.

5.     Флюгге З. Задачи по квантовой механике, т.1[Текст]:/ З.Флюгге, Задачи по квантовой механике. Пер. с англ., М.: Мир, 1974. – 341 с.