Ст. преп. Дзогий И.В.

Брянский государственный университет имени ак. И.Г. Петровского, Россия

Многомерные сингулярные интегральные уравнения, связанные со сложными каноническими особенностями.

Пусть - пространство интегрируемых с квадратом по Лебегу функций .

Рассмотрим выпуклых острых непересекающихся конусов в
-мерном пространстве . Обозначим через радиальную трубчатую область, где

(1)

сопряженный конус к конусу , (см. [7], [8]).

Обозначим через подпространство из функций , допускающих аналитическое продолжение в радиальную трубчатую область и удовлетворяющих условию

. (2)

Обозначим через пространство, являющееся прямым дополнением к пространству в , то есть выполняется равенство

. (3)

Определим пространство функций из соотношения

, (4)

где - прямая сума пространств , .

Теорема 1(см. [9], [10]). Каждому решению задач вида

, , (5)

где , , соответствует решение задачи

, (6)

где , и

, . (7)

Обратно, каждое решение задачи (6) можно представить в виде (5).

Решить какую-нибудь задачу из (5) можно при условии существования 0-волновой факторизации функции относительно соответствующего конуса .

Пусть ограничен сверху и снизу положительными константами.

Определение (см. [5], [6]). 0-волновой факторизацией функции относительно конуса называется ее представление в виде

, (8)

где функции , допускают ограниченное аналитическое продолжение в радиальные трубчатые области , соответствено.

Теорема 2 (см. [9], [10]). Если функция ограничена сверху и снизу положительными константами, и допускает 0-волновую факторизацию относительно какого-нибудь конуса , то задача () имеет единственное решение.

Пусть теперь в пространстве заданы выпуклых острых непересекающихся конусов , , таких, что

. (9)

Обозначим через пространство функций таких, что

. (10)

Тогда пространство будет иметь вид

. (11)

Теорема 3 (см. [9], [10]). Каждому решению задач вида

, (12)

, , (13)

где , , соответствует решение задачи

, (14)

где и

, (15)

Обратно, каждое решение задачи (14) можно записать в виде одной из задач (12), (13).

Литература

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. 640с.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука,1968.

3. Голберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. / И.Ц. Голберг, Н.Я. Крупник. Кишинев: Штинца, 1973.

4. Вишик М.И., Эскин Г.И. Уравнения в свертках в ограниченной области. / М.И. Вишик, Г.И. Эскин. // Успехи математических наук. 1965. Т. 20, №3. С. 89-152.

5. Васильев В.Б. Регуляризация многомерных сингулярных интегральных уравнений в негладких областях. / В.Б. Васильев // Труды Московск. матем.о-ва. 1998. Т. 59. С.73-105.

6. Васильев В.Б. Волновая факторизация эллиптических символов. / В.Б. Васильев // Математические заметки. 2000. Т. 69, №5. С. 653-667.

7. Владимиров В.С. Методы теорий функций многих комплексных переменных. В.С. Владимиров. М.: Наука, 1964.

8. Бохнер С., Мартин У.Т. Функции многих комплексных переменных. М.: ИИЛ, 1951. 300с.

9. Васильев В.Б., Щербенко И.В. Сингулярные интегральные уравнения, связанные с многомерными сложными особенностями. / В.Б. Васильев, И.В. Щербенко // Вестник Харьковского национального университета. - Хорьков. - 2005. - Т. 4, № 661 - С. 61-68.

10. Васильев В.Б., Щербенко И.В. Многомерная задача Римана для сложных особенностей. / В.Б. Васильев, И.В. Щербенко // Труды XII международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". - Харьков-Херсон- 2005. - С. 59-62.