І.М. Конет, М.П.Ленюк

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Лежандра-Ейлера-Бесселя на полярній вісі

 

Побудуємо обмежений на множині

 = {r: r Î (0, R1)  (R1, R2)  (R2, ¥)}

розв’язок системи диференціальних рівнянь Лежандра, Ейлера та Бесселя для модифікованих функцій

                                ()u1(r) = –g1(r), r Î (0, R1),                               

                               , r Î (R1, R2),                              

                              , r Î (R2, ¥)                              (1)

за умовами спряження

          , j, k = 1, 2.           (2)

          У рівностях (1) бере участь диференціальний оператор Лежандра [1] ; диференціальний оператор Ейлера [2]  ; диференціальний оператор Бесселя [3] . Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: qj > 0, 2aj + 1 > 0, n  ³ a2 > –1/2, m1 ³ m2 ³ 0, c1kc2k > 0, cjk = , j, k = 1, 2; (m) = (m1, m2), (a) = (a1, a2).

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра (L(m) – )v = 0 утворюють узагальнені приєднані функції Лежандра першого роду (ch r) та другого роду (ch r) [1], n1 = –1/2 + q1; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ()v = 0 утворюють функції v1 =  та v2 = [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя ()v = 0 утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду (q3r) та другого роду  (q3r) [3].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1), (2) методом функцій Коші [2, 4]:

                           ,

                 ,                       

                       .                          (3)

          У рівностях (3) Ej(r, r) – функції Коші [2, 4]:

                                                                           

                           ,                              (4)

j1(r) = shr, j2(r) = , j3(r) = , (r) = r–2g2(r).

          Безпосередньо перевіряється, що

                    (5)

  =   (6)

          (7)

, j, k = 1,2.

      Всі інші функції, які беруть участь в рівностях (5) – (7), загальноприйняті [3].

      Умови спряження (2) для визначення величин A1, A2, B2, B3 дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

                 ,

            ,

                ,

           .              (8)

          У системі (8) беруть участь функції

G12 =  + ,

                     G23 = – +

                                 + .

          Визначимо функції:

 – , j = 1, 2;

Bn¸(a); j(q) =  – ;

 =  – , q = (q1, q2, q3);

qn¸(a); 2(r, q) =  – , j = 1, 2.

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2): для будь-якого ненульового вектора  = {q1; q2; q3} визначник алгебраїчної системи (8)

D(m), (a)(q) º  =

                     =  –  ¹ 0.                        (9)

          Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1), (2):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ,

, ,

,,

,,  (10)

, ;

2) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

,

,

,                           (11)

,

,

          У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8) й підстановки одержаних значень A1, A2, B2, B3 у формули (3) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2):

uj(r) =  +  +

+ +, j = . (12)

          Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1), (2) методом інтегрального перетворення, породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

          .      (13)

Оператор M(m), (a) самоспряжений і має одну особливу точку r = ¥. Отже, його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр b Î (0, ¥). Йому відповідає спектральна функція

          V(m), (a)(r, b) = q(r)q(R1 – r)V(m),(a); 1(r, b) +q(r – R1)q(R2 – r)V(m),(a); 2(r, b) +

                                              + q(r – R2)V(m),(a); 3(r, b).                                      (14)

Функції V(m),(a); j(r, b) є обмеженим на множині  розв’язком сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Лежандра, Ейлера та Бесселя

    ()V(m),(a); 1(r, b)  = 0, r Î (0, R1),

    ()V(m),(a); 2(r, b) = 0, r Î (R1, R2),                                                  (15)

    ()V(m),(a); 3(r, b) = 0, r Î (R2, ¥)

за умовами спряження

,j, k = 1, 2.(16)

          Тут bj = ,  ³ 0, j = .

          Обмеженим на (0, R1) розв’язком диференціального рівняння Лежандра

()v = 0 є узагальнена приєднана функція Лежандра першого роду  (chr) º (chr), (b) [1]. Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера ()v = 0 утворюють функції v1 =
cos(b2lnr) та v2 = sin(b2lnr) [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя ()v = 0 утворюють функції  та  [3].

          Якщо покласти

    V(m),(a); 1(r, b)  = A1(chr),

    V(m),(a); 2(r, b)  = A2cos(b2lnr) + B2sin(b2lnr),

    V(m),(a); 3(r, b)  = A3 + B3,                                           (17)

то умови спряження (16) для визначення величин Aj (j = ) та Bk (k = 1, 2) дають однорідну алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

          , j = 1, 2,                      (18)

          .

          У припущенні, що A1 –довільна невідома, маємо дві алгебраїчні системи по два рівняння в кожній.

          При A1 =  0 послідовно знаходимо величини Aj та Bj (j = 2, 3), підстановка яких у рівності (17)дає структуру функцій V(m),(a); j(r, b):

V(m),(a); 1(r, b)  = (chr),

V(m),(a); 2(r, b)  = [],

V(m),(a); 3(r, b)  = w(m),(a); 1(b) – w(m),(a); 2(b).                          (19)

          У рівностях (19) беруть участь функції:

,

,

, j = 1, 2,

w(m),(a); j(b) = .

          Визначимо величини

s1 = , s2 = ,s3 = 1,

вагову функцію

          s(r) = q(r)q(R1 – r)s1sh r +q(r – R1)q(R2 – r)s 2+ q(r – R2) s 3

та спектральну щільність

      W(m), (a)(b) = b([w(m), (a); 1(b)]2 + [w(m),(a); 2(b)]2)–1.

Наявність спектральної функції V(m),(a) (r, b), вагової функції s(r) та спектральної щільності W(m), (a)(b) дозволяє визначити пряме H(m),(a) та обернене  гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині  ГДО M(m),(a) [3]:

                         ,                           (20)

              ,                (21)

вектор-функція g(r) = {g1(r); g2(r); g3(r)} належить області визначення ГДО M(m),(a). При цьому має місце основна тотожність гібридного інтегрального перетворення ГДО M(m), (a):

                      H(m),(a)[M(m),(a)[g(r)]] =  – +

                           + .                            (22)

          У рівності (22) прийняті позначення:

, ,

, h1 = , h2 = ,

, i = 1, 2, k = 1, 2.     

Єдиний розв’язок крайової задачі (1), (2), побудований методом запровадженого формулами (20), (21) гібридного інтегрального перетворення за відомою логічною схемою [5], має структуру:

 +

+  +      

+  +       (23)

+  –

      , j = .

          Тут q2 = max{; ; }.

    Порівнюючи розв’язки (12) та (23) в силу єдиності, одержуємо наступні формули обчислення невласних інтегралів:

 = , j, k = , (24)

 = , k = 1, 2, j = , (25)

=, k = 1, 2, j = . (26)

Функції впливу H(m), (a); jk(r, r, q) визначені формулами (11), функції Гріна  – форму­ла­ми (10).

Підсумком викладеного вище є твердження.

Основна теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {L(m)[g1(r)]; [g2(r)]; [g3(r)]} неперервна на множині , функції gj(r) задовольняють умови спряження (2) та має місце умова (9) однозначної розв’язності крайової задачі (1), (2), то справджуються формули (24) – (26) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО M(m), (a), визначеного рівністю (13).

 

Література:

 

1.     Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока.  Чернівці: Прут, 2002. – 248 с.

2.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

3.     Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368 с.

4.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

5.     Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368 с.