Кобякова А.А., магистрант кафедры «Информационные системы в экономике», Волгоградский государственный технический университет (ВолгГТУ),

Декатов Д.Е. к.т.н., доцент, ВолгГТУ,

Терелянский П. В., к.т.н., доцент, ВолгГТУ

Использование теории статистических игр с нечеткими параметрами для определения оптимальной цены

Задача, стоящая перед всякой фирмой в области ценовой политики – выбор оптимальной цены, способной принести максимальную прибыль и не отпугивающей покупателей. Зачастую приходится отходить от точечных числовых оценок, заменяя их качественными характеристиками ситуации, выраженными на естественном языке. В этой связи удобным способом математического описания трудно формализуемых понятий являются нечеткие множества[1]. Также традиционной основой для принятия решений в условиях природного риска являются вероятностно-статистические методы. При этом в случае стохастической неопределенности, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша. В реальных ситуациях альтернативы, вероятности стратегий природы, исходы, соответствующие принятым решениям или вероятности этих исходов часто являются нечеткими, точно не известными. В этом случае можно говорить о статистической игре с нечеткими параметрами[4].

           Рассмотрим пример выбора оптимальной ценовой политики фирмы в условиях нечеткой исходной информации и природного риска. В качестве объекта исследований был выбран контроллер микропроцессорный КМП 1.1.1.1. (предназначен для управления теплотехническим оборудованием). Прежде всего, у нас имеются данные о возможных ценах на КМП 1.1.1.1. Экспертом были обозначены следующие неколичественные ценовые категории: “Низкая цена”, ”Довольно низкая цена”, ”Средняя цена”, ”Довольно высокая цена” и ”Высокая цена”. Введем лингвистическую переменную U=“Цена” со множеством лингвистических термов T(U)={“Низкая”, ”Довольно низкая”, ”Средняя”, ”Довольно высокая” и ”Высокая”}. В качестве универсального множества можно рассматривать все возможные значения цены X=[51812,  70000]. 51812 руб. – полная себестоимость КМП1.1.1.1, т.е. это минимально возможная цена продажи (без НДС), означающая нулевую прибыль. 70 000 руб. – цена товара (без НДС) при максимальной в отрасли 35%-ой норме прибыли. По мнению эксперта еще более сильное увеличение цены отпугнет клиентов и сведет спрос к нулю. Функция принадлежности задается группой экспертов, исходя из их личного опыта (табл. 1,2).

Таблица 1 – Нечеткое число “Низкая цена”

Уровень

 

“Низкая цена” – А1

L

R

0

0,25

0,5

0,75

1

1

0,75

0,5

0,25

0

x

51812

51814

51816

51818

51820

55440

55697

55954

56211

56470

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µA1(x)

0

0,25

0,5

0,75

1

1

0,75

0,5

0,25

0

Таким образом, под категорию “Низкая цена” однозначно точно попадает цена от 51820 руб. до 55440 (от 0,01% наценки до 7% наценки). Остальные представленные в таблице цены могут быть отнесены к категории “Низкая” с той или иной степенью условности µA1(x).

Таблица 2 – Нечеткие числа  “Довольно  низкая цена”, “Средняя цена”, “Довольно высокая цена”, “Высокая цена”.  

Уровень

 

“Довольно  низкая цена” – А2

L

R

0

0,25

0,5

0,75

1

1

0,75

0,5

0,25

0

x по А2

54400

54660

54920

55180

55440

58550

58937

59324

59711

60100

 

“Средняя цена” – А3

x по А3

56470

56990

57510

58030

58550

62170

62560

62950

63340

63730

 

“Довольно высокая цена” – А4

x по А4

60100

60617

61134

61651

62170

65280

66445

67610

68775

69900

 

“Высокая цена” – А5

x по А5

63730

64117

64505

64892

65280

69900

69925

69950

69975

70000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ(x)

0

0,25

0.5

0.75

1

1

0,75

0.5

0,25

0

Важно отметить, что в каждом из представленных трапециевидных нечетких чисел A1…А5 ключевыми значениями являются вершины трапеции, где μАi(x)=0 и μАi(x)=1. Именно эти значения были назначены экспертом, остальные же значения цены, имеющие функцию принадлежности μАi(x)={0,25; 0,5; 0,75} имеют вспомогательное значение и заданы из геометрических соображений. С их помощью имеется возможность представить нечеткое число Ai  в виде набора a-уровней. Так нечеткое число А1 может быть представлено следующим образом: ; ; ; ; .

Рассмотрим также множество значений спроса, который измеряется в количестве заказов в год (объем реализованной продукции). Введем лингвистическую переменную S=“Спрос” с множеством термов: T(S)={“Высокий”, ”Средний”, ”Низкий”}.

Таблица 3 – Нечеткие числа “Низкий спрос”, “Средний спрос”, “Высокий спрос”.

 

Уровень

 

“Низкий  спрос” – B1

L

R

0

0,25

0,5

0,75

1

1

0,75

0,5

0,25

0

y для В1

0

0,5

1

1,5

2

7

7,75

8,5

9,25

10

 

“Средний  спрос” – B2

y по В2

5

5,5

6

6,5

7

15

16,25

17,5

18,75

20

 

“Высокий  спрос” – B3

y по В3

10

11,25

12,5

13,8

15

25

25,5

26

26,5

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ(y)

0

0,25

0,5

0,75

1

1

0,75

0,5

0,25

0

Определенная цена порождает определенный спрос, и эта зависимость носит вероятностный характер. Введем лингвистическую переменную W=“Вероятность спроса” с множеством термов T(W)={“Высокая”, “Довольно высокая”, ”Средняя”, ”Довольно низкая”, ”Низкая”}. В качестве универсального множества Р возьмем [0,1].

Таблица 4 – Нечеткие числа “Низкая вероятность”, “Довольно низкая вероятность”, “Средняя вероятность”, “Довольно высокая вероятность”, “Высокая вероятность”.

 

Уровень

 

“Низкая вероятность” – C1

L

R

0

0,25

0,5

0,75

1

1

0,75

0,5

0,25

0

p по С1

0

0,01

0,02

0,03

0

0,3

0,325

0,35

0,38

0,4

 

“Довольно низкая вероятность” – C2

p по С2

0,2

0,23

0,25

0,28

0

0,5

0,53

0,55

0,58

0,6

 

“Средняя  вероятность” – C3

p по С3

0,4

0,43

0,45

0,48

0,5

0,7

0,73

0,75

0,78

0,8

 

“Довольно высокая вероятность” – C4

p по С4

0,6

0,63

0,65

0,675

0,7

0,9

0,93

0,95

0,98

1

 

“Высокая вероятность” – C5

p по С5

0,8

0,83

0,85

0,88

0,9

0,96

0,97

0,98

0,99

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ(p)

0

0,25

0.5

0.75

1

1

0,75

0.5

0,25

0

         Устанавливая определенный уровень цены, фирма оказывает влияние на спрос. Имея пять ценовых диапазонов и три варианта спроса, получаем пятнадцать возможных  комбинаций “цена/спрос”, каждая из которых обладает определенной вероятностью, определяемую экспертным путем (табл. 5).

Таблица 5 – Вероятность спроса при определенной цене

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спрос

Цена

Низкий

Средний

Высокий

Низкая

Низкая

Довольно высокая

Высокая

Довольно низкая

Довольно низкая

Средняя

Довольно высокая

Средняя

Средняя

Средняя

Средняя

Довольно высокая

Довольно высокая

Довольно низкая

Довольно низкая

Высокая

Высокая

Низкая

Низкая

Для выбора оптимальной цены использоваться критерий максимальной прибыли. Все исходные данные для расчета прибыли имеются в наличии: Zij=Аi* Bj –PC, где Zij – прибыль при i-ом варианте цены и j-ом варианте спроса (i=1…5,  j= …3) , Аi – возможные варианты цены  (i =1…5),  Bj – возможный объем реализации ( j =1…3), PC  – себестоимость продукции (PC = 51812).

Арифметические операции над нечетким числами проводятся путем  разложения их на a-уровни с последующим оперированием с границами полученных четких интервалов. В итоге мы получаем пятнадцать нечетких чисел, обозначающих прибыль (Z1…Z15), каждая из которых имеет определенную вероятность появления. Из табл. 5 видим ситуацию выбора решения в условиях риска, критерием выбора оптимальной цены заявлен критерий максимальной прибыли: , где Cij – вероятность спроса при определенной цене (вероятность прибыли), Zij – прибыль при i-ом варианте цены и j-ом варианте спроса. Вычисления сведены в табл. 6.

Таблица 6 – Средние значения прибыли

 

 

 

“Средняя прибыль при низкой цене” – Zp1

L

R

0

0,25

0,5

0,75

1

1

0,75

0,5

0,25

0

g по Zp1

0

25

58

99

148

143669

164277

186721

211086

237558

 

“Средняя прибыль при довольно низкой цене” – Zp2

g по Zp2

20704

27003

34421

43047

52969

245937

280992

319260

360886

406112

 

“Средняя прибыль при средней цене” – Zp3

g по Zp3

27948

37961

50000

64240

80856

340778

385719

434382

486914

543461

 

“Средняя прибыль при довольно высокой  цене” – Zp4

g по Zp4

58016

75558

95784

118867

145012

488888

574894

669835

774149

886312

 

“Средняя прибыль при  высокой  цене” – Zp5

g по Zp5

0

7137

15485

25114

36094

338607

381935

427241

474531

523814

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ(g)

0

0,25

0.5

0.75

1

1

0,75

0.5

0,25

0

           Поиск максимальной прибыли представлен, как задача сравнения нечетких чисел. Сравнение будет осуществляться на основе представления нечетких чисел в виде упорядоченных совокупностей a-уровней и сравнения четких интервалов на соответствующих a-уровнях[2]. Последовательно сравнивая нечеткие числа  Zp1, Zp2, Zp3, Zp4, Zp5 находим, что максимальная средняя прибыль достигается при довольно высокой цене (Zp4), именно она  является искомой оптимальной ценой. В качестве решения нужно выбрать одно количественное значение, т.е. нечеткое подмножество преобразовать в скаляр[3]. У трапециевидных нечетких чисел максимальная принадлежность достигается в нескольких значениях базовой переменной. Для нахождения требующегося значения следует взять среднюю точку между теми конечными точками, в которых достигается максимум функции принадлежности: хопт=(62170+65280)/2=63725. Именно эта цена и принесет фирме максимальную прибыль.

 

Библиографический список:

1.                 Терелянский, П.В. Информационные технологии прогнозирования и принятия технических решений на основе нечетких и иерархических моделей: монография/П.В. Терелянский, А.В. Андрейчиков/ВолгГТУ. – Волгоград, 2007. – 204 с.

2.                 Дилигенский, Н.В.  Моделирование,  многокритериальная оптимизация  и оценки качества  функционирования производственно-экономических  и медико-экологических систем в условиях  неопределенности  [Электронный ресурс] / Н.В. Д Дилигенский, Л.Г. Дымова, П.В. Севастьянов.  – [2006]. – Режим доступа: http://sedok.narod.ru/s_files/poland/Wwedenie

3.                 Ринкс Д.Б. Эвристический подход к обобщенному календарному планированию производства с использованием лингвистических переменных: методология и применение // Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ. / под ред. Ягера Р.Р. – М., Радио и связь, 1986. – с. 349-370.

4.                  Пивкин, В.Я. Нечеткие множества в системах управления. [Электронный ресурс] / В.Я. Пивкин, Е.П. Бакулин, Д.И. Кореньков. – [2006]. – Режим доступа: http://www.kstu.ru/oldsite/int_rus-1.htm