А.П.Мустафаев

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Связь между решениями линейных уравнений в частных производных разного порядка гиперболического типа

Многие задачи физики приводят к разысканию той или иной функции нескольких переменных. Для её определения составляется дифференциальное уравнение в частных производных, которому должны удовлетворять искомая функция.

Наряду с общими методами, применяемыми при решении уравнений с частными производными, существуют для каждого типа уравнений и некоторые специфические методы.

В этой работе покажем последовательную взаимосвязь частных видов общих решений некоторых линейных уравнений с постоянными коэффициентами различного порядка гиперболического типа.

Рассмотрим несколько уравнений гиперболического типа:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Все эти уравнения получены из уравнения колебания струны (1) взятием от него частных производных различного порядка по одной или по двум переменным.

С помощью замены

(*)

уравнение (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

(1.1)

а уравнения (2)-(4)

(2.1-4.1)

а уравнение (5)

(5.1)

а уравнения (6)-(8)

(6.1-8.1)

а уравнение (9)

(9.1)

а уравнение (10)

. (10.1)

А общие решения этих уравнений соответственно имеют вид

где производные постоянные. Перехода к старым переменным х и у, получим общие решения соответствующих уравнений с постоянными коэффициентами гиперболического типа в явном виде.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти решения удовлетворяют соответственным уравнениям, а также легко можно заменить связь решений уравнений высших порядков с уравнениями низших порядков.