Л. Т. КУРБАНАЛИЕВ

                                                        кандидат физико-математических наук МКТУ им. Х.А.Ясави

Г.А.ДУЙСЕНОВА

преподаватель МКТУ им. Х.А.Ясави

Е.З.УКСИКБАЕВ

магистрант МКТУ им. Х.А.Ясави

 

Решение задачи колебания приповерхностного слоя анизотропной слоистой среды методом потенциалов

 

В работах [1,2] рассмотрена задача  колебании приповерхностного слоя анизатропного слоистой среды. Состояние слоистой среды описывалось моделью линейной упругости [1]. Предположим, что на подошву слоя падает одномерная поперечная упругая волна (рис. 1). Будем учитывать отражение и преломление поперечной волны от границ слоев ( рис. 2).

                                                                                                                      

Н                                                                       

                                                  поперечная волна

  

Рисунок 1. Падающая упругая одномерная поперечная волна.

 

 

                                           переломанные волны      отраженные волны

                                       поперечная волна       отраженные волны

 

Рисунок 2. Схематическое изображение волн.

 

 

Граничные условия:

 

                                                   (1)

 

Начальные условия:

 

                                                          (2)

 

Потенциал падающей волны представим в виде:

 

                                                     (3)

 

Тогда потенциалы отраженных и переломных волн можно представит в виде:

                                                                                                                                                (4)

 

где   b0, b, b1  -  скорости падающей, отраженных и преломленных поперечных волн соответственно;

B0,B, Bp  - амплитуды падающей, отраженных и преломленных поперечных волн;

 - потенциалы падающей, отраженных и преломленных поперечных волн;    

В работе [2]  приводятся  выражения для поперечных и продольных  волн:

 

                                                       (5)

 

Из  соотношения получим :

 

                          (6)

 

где      - перемещения падающей, отраженных и переломленных волн соответственно. Причем , тогда находим производные по координате y:

 

                             (7)

 

Компоненты тензора деформации и напряжении в упругом случае выражаются через компонентов перемещений в виде [2,3]:

 

                          (8)

 

Исходя из постановки задачи и учитывая (8) имеем:

 

                                                  (9)

 

Находим выражение для  компонентов     и   :

 

   

    ;

 

Уравнение колебания слоя:

 

                                                                                                                         (10)

 

В работе [2] показано, что уравнение (10) в потенциалах имеет вид:

 

                                                         (11)

 

Перепишем граничные и начальные условия задачи в потенциалах:

 

                                                                                                                (12)

 

 

                                                                                                         (13)

 

            Полупространство и слои характеризуется скоростями попереченых волн b0, b1, коэффициентами Ляме и плотностями   .  Нулевой индекс относится к полупространству, а единичный к слою.

Скорости продольных и поперечных волн выражаются через  коэффициентами Ляме и плотностями в следуюшем виде:

 

 

Можно  вычислить коэффициенты отражения продольных и поперечных волн [1]:

 ,     ,  

где KS ,  KP  коэффициенты отражения поперечных и продольных волн.

Задачу  (11) - (13) можно решить различными численными методами [4]. Один из  методов, это конечно – разностный метод. В этом методе граничные, начальные условия и уравнение движения записываются в конечно-разностной схемой. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Полученная СЛАУ решается методом Гаусса или методом прогонки [5].  

Другой метод численного решение задачу  (11) - (13)  метод Рунге-Кутта. Метод Рунге-Кутта имеет порядок погрешности вычисления выше, чем остальные численные методы [4].

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.    Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов. – Прикладная математика  и механика, 1960г., Т.24, выпуск №6, с. 1057-1072.

2.    Кольский Г. Волны напряжения в твердом теле. М.:Мир, 1955г. - 150с.

3.    Самуль В.И.  Основы теории упругости и пластичности. М.:Высшая школа, 1970. 120с.

4.    Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978. -120с.

5.    Форсайт Дж., Моллер к. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. – 250с.