Экономика / 8 Математические методы в экономике

К.ф.-м. н. Ысмагул Р.С.

Студентка 4 курса спец. Математика Жолмагамбетова А.

 Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова, Казахстан

Применение дифференциальных уравнений в экономике

    Теория дифференциальных уравнений широко применяется в различных областях  науки. Простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными описывает и процесс изменения атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря, и процесс изменения численности населения, роста  цен  и т.д.

      Дифференциальные уравнения – это язык, на котором говорит природа. Владение математическим языком составляет часть от общей культуры человека современного времени, которая в последние века практически не оспаривается. После открытия Ньютоном дифференциального исчисления, позволяющего использовать один и тот же  математический аппарат для описания фундаментальных закономерностей  различных  явлений окружающего мира, стало возможно с помощью дифференциальных уравнений описывать не только простые  явления, но и отдельные фундаментальные закономерности сложных объектов Так же большое значение имеют эти уравнения в экономической сфере, потому  что при помощи дифференциальных уравнений можно описать множество  процессов  макроэкономической динамики. Например: для описания роста населения (в рассматриваемый промежуток времени), динамику роста цен, процесс распространения рекламы, для нахождения функции спроса и предложения, объема производства некоторого производителя и т.д. Для того,  чтобы доказать это я предлагаю рассмотреть несколько примеров, которые решаются при помощи  дифференциального исчисления.

             Пусть y = y(t) – объем производства некоторого производителя, реализованный к моменту времени t. Предположим, что цена на данный товар остается постоянной (в пределах рассматриваемого промежутка времени). Тогда функция у = у(t) удовлетворяет уравнению

                                                       у'  = ky,                        (1)

 Где k = mpl, m – норма инвестиций, p – продажная цена, l – коэффициент пропорциональности между величиной инвестиций и скоростью выпуска продукции.

            Уравнение (1) является уравнением с разделяющимися переменными.

Его решение имеет вид:                                 y = y0e(t-to),                (2)

                                                 где y0 = y(t0).

           Уравнение (1) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции и т.д.

          Выяснить, по истечении какого промежутка времени объем реализованной продукции удвоится по сравнению с первоначальным, если значение коэффициента пропорциональности k  в уравнению (1) равно 0,1. На сколько процентов следует увеличить норму инвестиций, чтобы промежуток времени, необходимо для удвоения объема реализованной продукции, уменьшился на 20%.

         Решение: Полагая  в (2) tо = 0, k = 0,1, у = 2уо , приходим к равенству

                                                      2уо = уое0,1t ,

откуда  t = 10  ln2≈ 6,93 ( ед.времени). Полагая теперь, что t1 = 0,8t , получаем k1 = k/0,8 = 1,25k, т.е. норму инвестиций следует увеличить на 25%.

           Предположение о неизменности цены (о ненасыщаемости рынка) на практике оказывается справедливым лишь для узких временных интервалов.

           В  общем случае цена p является убывающей функцией от объема у  реализованной продукции (р  = р(у)). Тогда уравнение (1) принимает вид :

                                                у' = mpl (y) y,                              (3)

оставаясь тем не менее уравнение с разделяющимися переменными.

          Уравнение вида (3) описывает также рост народонаселения при наличии (естественных) ограничений для роста, динамику развитии эпидемий, процесс распространения рекламы и т.д.

Эластичность спроса (относительно цены) определяется формулой

Ep (y) = pdy/ydp. В некоторых случаях представляет интерес функция спроса при данной эластичности.

Пример:  найти функцию спроса. Если Ep = -2 =const и у(3) = 1/6.

            Решение. Из определения эластичности следует, что

                                               -2 =  pdy/ydp ,

Т.е. искомая функция задается уравнением с разделяющимися переменными. Решая это уравнение, получаем             p-2 = Cy.

          Учитывая начальное условие у(3) = 1/6, имеем С = 2/3. Окончательно    у = 1,5 p-2.

          В простейших ситуациях спрос на товар( предложение товара) предполагается зависящим лишь от его цены. В более сложных случаях в расчет принимается также зависимость спроса ( предложения) от скорости изменения цены.

Пример: функция спроса и ( соответственно) предложения имеют вид:

                                y = 25 – 2p + 3dp/dt = 15 – p + adp/dt,

         откуда                    dp/dt = 10 – p,

т.е. получаем уравнение с разделяющимися переменными  y'' – 3y' + 2y = 0.

Решая это уравнение, приходим к функции                       p =10 – Ce-t

Из  условия р(0) = 9 следует, что С = 1,  так что окончательно                        

                        p =10 – e-t.     

                  отсюда следует, что цена остается постоянной.

      Присоединяясь ко всему выше сказанному  и рассмотренным примерам можно утверждать, что с помощью дифференциальных уравнений человек живет на  этом свете  и у него есть возможность развиваться и развивать окружающий нас мир. Дифференциальные уравнения являются мощным средством познания реальной действительности существования. Это как бы мгновенный снимок процесса в данный момент времени, интегрируя дифференциальное уравнение, мы по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса в целом.