Жолдыбаев М.Е.

Актюбинский региональный государственный

университет им. К.Жубанова, Казахстан.

Оценка решений краевой задачи с начальным скачком для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

1. Постановка задачи.

Рассмотрим в области линейное сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение вида:

(1)

удовлетворяющее краевым условиям:

, . (2)

Здесь - малый параметр, - независимые переменные, - искомая функция, , и функции заданные в области , а операторы: , где функция также задана в области .

Предположим, что:

1) функции , и - достаточно гладкие по совокупности аргументов :

2) , , ,

где , - некоторые вещественные числа;

3) функции и являются решениями уравнения характеристики:

соответствующего уравнению (1), и удовлетворяющее начальным условиям

Цель работы: установить оценки решения сингулярно [1] возмущенной краевой задачи с начальным скачком (1), (2);

2. Оценка решения. В данном параграфе доказана следующая

Теорема. Если выполнены условия 1)- 2), то для решения сингулярно возмущенной краевой задачи (1), (2) в области (вдоль каждой характеристики для любого ) справедливы следующие оценки:

, (3)

где и - некоторые постоянные, не зависящие от и .

Доказательство. Действительно, непосредственной проверкой можно убедиться, что решение сингулярно возмущенной краевой задачи (1) и (2) представимо в виде:

, (4)

где функции и .

Способом аналогичным, как в [2] для и получим в области (вдоль каждой характеристики для любого ) следующие представления:

,

, (5)

где функции и те же, что и в [3].

Откуда, учитывая что функции , получаем следующие оценки:

, . (6)

Из (4), вспоминая оценки (6) и функции типа Грина [2] а также непрерывность функции , получим оценки для решения в (3). Из формулы (4) найдем:

.

Для функций и на основание формулы (5) в области (вдоль каждой характеристики для любого ) справедливы следующие представления:

,

.

Из последних соотношений с учетом условия 1)-2) получаем следующие оценки:

, .

Следовательно, учитывая оценки функция типа Грина [2], получим оценки (3) в области (вдоль каждой характеристики для любого ) для частных производных , Теперь вспомнив, что есть скалярное произведение векторов и , получим

, (7)

где , , .

Из (4), учитывая (7), получим оценки (3) в области (вдоль каждой характеристики для любого ) для частных производных . Теорема доказана.

Литература

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.Наука, 1981, 400 с.

2. Касымов К.А. Линейные сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения второго порядка. Алма-Ата: Наука, 1981. 123 с.

3. Тажимуратов И.Т., Жолдыбаев М.Е., Оценки решений сингулярно-возмущенных уравнений в частных производных второго порядка. // Известия НАН РК. 2000, № 3, с. 56-62.