Математика/1.Дифференциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Мартинюк О. В.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,Україна

Про розв’язність нелокальної за часом двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання

При дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для рівнянь з частинними похідними використовуються простори типу – простори , , введені І. М. Гельфандом та Г. Є. Шиловим в [1], а також простори типу , введені Б. Л. Гуревичем [2] (див. також [3]), в яких для характеристики поведінки функцій на нескінченності замість степеневих використовуються опуклі функції. Топологія вказаних просторів відмінна від топології простору однозначних і цілих в функцій ( не є нормованим простором, але в той же час – простір Фреше), функції з таких просторів на дійсній осі разом з усіма своїми похідними при спадають швидше, ніж , , .

У [4] досліджені простори , які будуються за певними послідовностями та і котрі є узагальненнями просторів , що будуються за послідовностями , , , , [5]. У цій роботі встановлюється розв’язність нелокальної за часом двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання в просторах .

Нехай – ціла функція, коефіцієнти якої задовольняють умову

– фіксоване).

Визначимо оператор узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва в просторі за формулою , де , – довільна функція з простору . Так визначений оператор для довільно фіксованого неперервно відображає простір в себе [4].

Нехай , , – деяка ціла функція. Говоритимемо, що в просторі задано оператор узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва нескінченного порядку , якщо для довільної основної функції ряд

зображає деяку функцію з простору .

Якщо ціла функція задовольняє умову

де то в просторі визначений оператор , який неперервно відображає в [4].

Символом позначимо оператор узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва , – фіксоване. Для еволюційного рівняння

(1)

розглянемо нелокальну двоточкову за часом задачу

(2)

де , – фіксовані числа, .

Під розв’язком задачі (1), (2) розуміємо функцію , диференційовну по , яка при кожному належить простору і задовольняє рівняння (1); умову (2) задовольняє в тому сенсі, що

де границі розглядаються в просторі ; при цьому неперервно залежить від .

Доведемо, що функція, яка зображається рядом , є елементом простору . Відомо, що при кожному фіксованому [4]; при цьому справджуються нерівності

де сталі , , не залежать від , , , послідовність монотонно зростає (– розв’язок рівняння , , [4]). Тоді

Отже,

і

За умови правильною є нерівність

Звідси вже дістаємо, що . Отже, є елементом простору .

Із результатів, наведених у [4], випливає, що функція

задовольняє рівняння (1). Доведемо, що ця функція задовольняє також граничну умову (2) у вказаному розумінні.

Функція , , як абстрактна функція параметра із значеннями в просторі диференційовна [4], а отже, і неперервна в кожній точці . Отже, граничні співвідношення , справджуються в просторі . Тоді для мають місце співвідношення

Цим доведено, що функція задовольняє умову (2) у вказаному розумінні.

Отже, справедливе таке твердження.

Теорема. Якщо , де , то двоточкова задача (1), (2) розв’язна в просторі ; розв’язок цієї задачі дається формулою

Література:

1. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.

2. Гуревич Б. Л. Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-разностных схем / Б. Л. Гуревич // Докл. АН СССР. – 1954. – Т. 99, № 6. – С. 893-896.

3. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – М.: Физматгиз, 1958. – 274 с.

4. Мартинюк О. В. Двоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання / О. В. Мартинюк // Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу. Зб. праць Інституту математики НАН України. – 2013. – Т. 10, №2. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2013. – С. 235-247.

5. Горбачук В. И. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений / В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук. – К.: Наук. думка, 1984. – 283 с.