Таттибеков К.С.

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Алгебра Ли-Бэклунда уравнения Шредингера

Выявление симметрии нелинейных моделей вызывает особый интерес, поскольку служит одним из немногих способов исследования их точных свойств. Один из способов интегрирования связан с вычислением алгебры Ли-Бэклунда, включающий в себя множество высших симметрий уравнения. Этот подход позволяет систематический находит частные решения, причем высшие симметрии связаны с решениями солитонного типа [1,2]. В этой работе построены группы симметрии уравнений OSP(2/1)-S3.

Так в работах [3,4] были построены - градуированное суперобобщение нелинейного уравнения Шредингера OSP(2/1) - S3:

(1)

где - функция четности, т.е - коммутирующие, - антикоммутирующие искомые функции.

При групповом анализе произвольная эволюционная система

(2)

и ее различные дифференциальные следствия рассматриваются как бесконечномерное многообразие [F] в пространстве переменных

Условие инвариантности многообразия [F] по отношению группы преобразований записывается в виде определяющего уравнения [34]

(3)

где -операторы полного дифференцирования по t и x соответственно, - вычисляется с помощью уравнений (2). Решения определяющего уравнения (3) образуют алгебру Ли-Бэклунда допускаемой системой (2).

Определяющие уравнения для операторов Ли-Бэклунда

допускаемой системой OSP(2/1)-S3 (1) имеет вид (4):

Решение определяющего уравнения (3) вида назовем решением m - порядка и обозначим через . Мы будем рассматривать решение определяющих уравнений (2.6) явно независящих от х,t .

ЛЕММА. Решение порядка m уравнений (4) имеет вид

(5)

где а, b, с, d - постоянные числа, функций - зависят от

Доказательство. Подстановка функций зависящих от и их производных по х до m - го порядка включительно в первое уравнение (4) дает

(6)

где многоточием отмечены слагаемые меньшего порядка. Отсюда следует, что должно быть

(7)

С учетом последнего, уравнение (6) перепишется так

+

Следовательно, (8)

Тогда, из (7),(8) следует справедливость первого равенства в (5).

Аналогично поступая со всеми остальными определяющими уравнениями (4), окончательно убеждаемся в справедливости леммы.

Используя указанную в доказательстве леммы схему найдем решения определяющих уравнений первых нескольких порядков;

и т.д.

Нетрудно показать, что по шаговое уточнение алгебры (2.7) для любого m приведет к справедливости следующих равенств

где многоточием отмечены слагаемые меньшего порядка, представляющие собой сумму однородных многочленов относительно и их производных по х до порядка

ТЕОРЕМА. Алгебра Ли - Бэклунда системы нелинейных уравнений OSP(2/1)-S3 коммутативна, ее элементы порядка вычисляются по рекурентным формулам

+

-

причем

Доказательство. Умножение в алгебре Ли-Бэклунда определим по формуле

где - функция четности. Тогда доказательство коммутативности построенной алгебры сводится к установлению следующих равенств

для операторов Ли-Бэклунда

Справедливость последних равенств устанавливается непосредственной проверкой.

Отметим, что в бозонном случае полное описание алгебры Ли-Бэклунда проведено в [5].

Литература:

1. GurseesM., Qquz O. A super Soliton Connection /Lett.Math.Phys., 1986, v.11, №3, p.235-246.

2. Жибер А.В. Уравнения n - волн и система нелинейных уравнений Шредингера /ТМФ, 1982, т.52, №3, с.405-413.

3. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.:Наука, 1983.

4. Kulish P.P. Quantum OSP-invariant nonlinear Schrodinger еquations /Lett. Math. Phys.,1985, v.10, p.87-93.

5. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер.с англ. -М.:Мир, 1989, -639 с.