Математика/ 3.Теория вероятностей и математическая статистика

Илипов М.М., к.ф.-м.н. Искакова А.С.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

Вероятностная модель процесса выбора прецедента

Ранее в работе Прохорова М. Д. и Федунова Б.Е. [1] был введен алгоритм выбора прецедента при наблюдении ситуационного вектора с количественными координатами.

Пусть состояние ПрС/С описывается ситуационным вектором с координатами (х_{1, …}, x_n) и каждая координата х_i - лингвистическая переменная с множеством термов прецедентам (блок прецедента). Каждая строка матрицы представляет собой конкретный ситуационный вектор, при котором в прошлом успешно реализовался соответствующий прецедент.

Таблица 1

№ п/п	Координаты ситуационного вектора				Прецедент
	x1	x2	…	x n
					d1
:	:	:	:	:	:
					dm

Перенумеруем строки блока прецедента d_j двумя индексами: первый индекс – номер прецедента (здесь он является номером блока), второй индекс – порядковый номер ситуационного вектора в этом блоке.

Полученную упорядоченную таким образом систему логических высказываний называют нечёткой матрицей знаний или просто – матрицей знаний.

На основе текущих измерений точка формируется с количественными значениями его координат. Только в этой фиксированной точке в момент поступления замера и нужно определить значение функции принадлежности m_dj (x₁, .. x_i, .. x_n).

Допустим, что имеем прецедент d_j, который может быть получен из следующих возможных ситуационных векторов ,, …, .

Очевидно, что ситуационный вектор принимающий значения из множества является реализацией случайного вектора , и каждый элемент (i=1,…,n) ситуационного вектора принимает значения из множества Ω объема N_i. Допустим, что вероятность того, что i-й элемент (i=1,…,n) принимает значение есть , причем Введем следующее обозначение

другими словами, имеем вектор

Теорема 1. Вероятность того, что прецедент D_j примет значение d_j определяется по формуле

С использованием формул (см., например, [3-4]) комбинаторики и формулы (2) имеем справедливость представленной теоремы.

Тогда представленное распределение можно представить как

На практике, как правило, вероятности p(ω_α) (α=1,…,N_i, i=1,…,n) не известны. Следовательно, формулы (3) и (3’) не находят фактического применения.

Допустим, что имеются реализации s прецедентов d₁, d₂, …, d_s. Иначе говоря, ряд фактических данных d={d₁, d₂, …, d_s} можно трактовать как реализацию выборки объема s, элементы которой подчиняются представленному распределению. Пусть для каждого j=1,…, μ, где существует вектор z_j=(z_1j,..., z_dj), определяемый как причем индексы в правой и левой части связаны между собой взаимно однозначным соответствием, которое не единственно.

Теорема 2. Элементы множества W(d, z)={W(d, z₁), …, W(d, z_μ)} являются несмещенными оценками для вероятности , которые при j=1, …, μ определяются как

Приведенная теорема доказывается аналогично доказательству приведенной в работе [2].

Итак, имеем множество несмещенных оценок вероятности проявлений искажений. Наиболее подходящая несмещенная оценка W(d, z_g) для вероятности оправдываемости метеорологического прогноза d P(D=d) распределения (3) определяется из всего множества полученных несмещенных оценок W(d, z)={W(d, z₁), …, W(d, z_μ)}, согласно определениям.

Определение 1. Решение z_g, основанное на наблюдении, является наиболее подходящим из множества z={z₁, … , z_m}, если

(8)

где при i=1, … , s элементы множества W(x_i, z)={ W(x_i, z₁), … , W(x_i, z_m)} являются несмещенными оценками для вероятности P(D=d) распределения (3), определенными в (7).

Определение 2. Несмещенная оценка W(d, z_g) для вероятности P(D=d) распределения (1) является наиболее подходящей из всего множества несмещенных W(d, z)={W(d, z₁), …, W(d, z_μ)}, определяемых в (7), если z_g – наиболее подходящее решение, основанное на наблюдении.

Теорема 3. Наиболее подходящая несмещенная оценка W(u, z_g) для вероятности P(U=u) модели является состоятельной, асимптотически нормальной и асимптотически эффективной.

Литература:

1. Прохоров М. Д. Федунов Б.Е. Вывод по прецеденту в базах знаний бортовых интеллектуальных систем, размещаемых на борту антропоцентрических объектов.

2. Искакова А.С. Определение наиболее подходящей несмещенной оценки вероятности оправдываемости прогноза в метеорологии. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002 г.Том V, 1(9). С.79-84.

3. Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ. М. 1963. – 287 с.

4. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. М.: Наука. 1975.– 424с.

5. Крамер Г. Методы математической статистики. – М. 1975. – 648 c.