Технические науки/2. Механика

Аспирант Афанасов Е.Н.

Санкт–Петербургский государственный морской технический университет, Россия

Осесимметричная задача обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса

Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса) нелинейны, так как эти уравнения содержат так называемые нелинейные конвективные члены. Однако если считать число Рейнольдса малым, то можно полностью или частично пренебречь нелинейными конвективными членами и тем самым линеаризировать эти уравнения [6].

Одним из общепринятых методов линеаризации является приближение Стокса, в котором предлагается полностью пренебречь конвективными членами. Известно, что решение уравнения Стокса для плоского обтекания любого контура отсутствует. В действительности аналогичные трудности возникают и для трехмерных тел, хотя они и отодвигаются ко второму приближению для конечных тел, поскольку возмущения для трехмерных течений являются более слабыми, чем для двумерных. Отсутствие второго приближения к решению Стокса для обтекания трехмерных тел неограниченным потоком известно как парадокс Уайтхеда [2].

Для линеаризованных этим методом уравнений (Стокса), при решении осесимметричных задач, в некоторых простых случаях (обтекание сферы или эллипсоида) могут быть получены точные решения [4].

В последующем было показано, что пренебрежение конвективными членами по сравнению с вязкими членами возможно лишь вблизи тела. На больших расстояниях от обтекаемого тела такое пренебрежение оказывается необоснованным [4].

Для изучения скоростей на больших расстояниях от обтекаемого тела следует учитывать конвективные члены. Так как на этих расстояниях скорость жидкости мало отличается от скорости набегающего потока, то можно частично учесть конвективные члены и получить так называемые уравнения Озеена [4].

Уравнения Озеена, вдали от тела, лучше аппроксимируют уравнения Навье-Стокса, чем приближение Стокса. В области, примыкающей к телу, такая аппроксимация конвективных членов является неудовлетворительной, однако для течений при малых числах Рейнольдса все конвективные члены малы по сравнению с вязкими членами независимо от способа их линеаризации. В силу этого уравнения Озеена можно использовать и вблизи тела. В ряде случаев с помощью приближения Озеена получены результаты лучше согласующиеся с экспериментом, чем с помощью уравнений Стокса [4, 6].

В работе [3] предложены уравнения новой модели «ползущих» течений, позволяющие сформулировать осесимметричную задачу обтекания в виде линейных уравнений с переменными коэффициентами для завихренности, составляющих скорости и давления.

Метод решения уравнений осесимметричной задачи и численная реализация метода рассмотрены в [1, 3]. Такой подход можно перенести и на уравнения Стокса и Озеена, при этом задача также формулируется в виде уравнений для завихренности, составляющих скорости и давления, для решения которых применяется разработанный численный алгоритм.

Численный метод решения осесимметричной задачи рассматривается на примере задач о продольном и поперечном обтекании сфероидов равномерным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Для этой задачи построены решения в рамках теорий Стокса [5] и Озеена [7].

Целью расчетов является вычисление коэффициента сопротивления.

Результаты расчета коэффициента сопротивления для задач об обтекании сфероидов на основе предложенных методов сравниваются с теоретическими результатами Стокса и Озеена.

Литература:

1. Афанасов Е.Н., Фишкина И.Н. Метод решения осесимметричных задач об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса, стр. 116/ Моделирование, управление и устойчивость (MCS-2012): межд. конф.; Севастополь, 10-14 сентября 2012 г./ отв. ред. О.В. Анашкин; Таврический нац. ун-т имени В.И. Вернадского. – Симферополь: ДИАЙПИ, 2012. – 201 стр.

2. Ван – Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. – Изд-во: Мир, 1967 г., – 310 стр.

3. Кадыров С.Г., Афанасов Е.Н. Об обтекании тел вязкой несжимаемой жидкостью при малых числах Рейнольдса. Труды Крыловского государственного научного центра, 2013, Вып. 73 (357), стр. 165 – 172.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. – Издание 5-е, стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 г – Т.VI. Гидродинамика. – 736 стр.

5. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. – М.: Изд-во «Мир», 1976 г. – 631 стр.

6. Шкадов В. Я., Запрянов З. Д. Течения вязкой жидкости. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984 г. – 200 стр.

7. Chwang, Allen T. and Wu, Theodore Y. Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. Part 4. Translation of spheroids. Journal of Fluid Mechanics, 1976, 75 (4). pp. 677-689.