Экономические науки/8 математические методы в экономике

Дмитренко Ирина Сергеевна 

к.ф-м.н. Колесников Сергей Алексеевич

Донбасская государственная машиностроительная академия

Кафедра высшей математики

Применение методов  классической оптимизации и функциональных уравнений Беллмана при решении задач о распределении инвестиций.

Среди экономически важных задач большой интерес представляет проблема распределения капитальных вложений между отраслями или предприятиями отрасли. Постановка таких задач, а значит и подбор соответствующего метода решения, зависит от способа задания функции дохода предприятия. В данной работе рассмотрены два способа задания функции доходности и предложены следующие методы решения : 1) метод классической оптимизации, предусматривающий исследование непрерывной функции многих переменных на экстремум с помощью построения функции Лагранжа,  2) метод обратной прогонки динамического программирования для дискретной функции дохода, предусматривающий составление функциональных уравнений Беллмана.

Рассмотрим вначале метод динамического программирования для решения следующей задачи. Совет директоров фирмы рассматривает предложения относительно прироста производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме. Для модернизации предприятий предложено инвестировать средства в объеме 250 усл.ден.ед. с дискретностью 50 усл.ден.ед. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы ,а его значения даны предприятиями и содержатся в таблице. Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост продукции, при чем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию.

Инвестиции,

усл.ден.ед.

Прирост выпуска продукции, усл.ден.ед.

g1(x)

g2(x)

g3(x)

g4(x)

50

8

10

12

11

100

16

20

21

23

150

25

28

27

30

200

36

40

38

37

250

44

48

50

51

Запишем уравнение Беллмана для метода обратной прогонки и разобьем решение задачи на 4 этапа.

   

Этап 4.    F5(C5)=0

C4

F4(C4)=g4(x4)

оптимум

X4=0

X4=50

X4=100

X4=150

X4=200

X4=250

F4(C4)

X4*

0

0

-

-

-

-

-

0

0

50

-

11

-

-

-

-

11

50

100

-

-

23

-

-

-

23

100

150

-

-

-

30

-

-

30

150

200

-

-

-

-

37

-

37

200

250

-

-

-

-

-

51

51

250

 

Этап 3.           

C3

F3(C3)=g3(x3)+ F4(C3-x3)

оптимум

X3=0

X3=50

X3=100

X3=150

X3=200

X3=250

F3(C3)

X3*

0

0+0=0

-

-

-

-

-

0

0

50

0+11=11

12+0=12

-

-

-

-

12

50

100

0+23=23

12+11=23

21+0=21

-

-

-

23

0,50

150

0+30=30

12+23=35

21+11=33

27+0=27

-

-

35

50

200

0+37=37

12+30=42

21+23=44

27+11=38

38+0=38

-

44

100

250

0+51=51

12+37=49

21+30=51

27+23=50

38+11=49

50+0=50

51

0,100

 

 Этап 2.                  

C2

F2(C2)=g2(x2)+ F3(C2-x2)

оптимум

X2=0

X2=50

X2=100

X2=150

X2=200

X2=250

F2(C2)

X2*

0

0+0=0

-

-

-

-

-

0

0

50

0+12=12

10+0=10

-

-

-

-

12

0

100

0+23=23

10+12=22

20+0=20

-

-

-

23

0

150

0+35=35

10+23=33

20+12=32

28+0=28

-

-

35

0

200

0+44=44

10+35=45

20+23=43

28+12=40

40+0=40

-

45

50

250

0+51=51

10+44=54

20+35=55

28+23=51

40+12=52

48+0=48

55

100

  

 Этап 1.       

C1

F1(C1)=g1(x1)+ F2(C1-x1)

оптимум

X1=0

X1=50

X1=100

X1=150

X1=200

X1=250

F1(C1)

X1*

0

0+0=0

-

-

-

-

-

0

0

50

0+12=12

8+0=8

-

-

-

-

12

0

100

0+23=23

8+12=20

16+0=16

-

-

-

23

0

150

0+35=35

8+23=31

16+12=28

25+0=25

-

-

35

0

200

0+45=45

8+35=43

16+23=39

25+12=37

36+0=36

-

45

0

250

0+55=55

8+45=53

16+35=51

25+23=48

36+12=48

44+0=44

55

0

Из таблицы этапа 1 находим оптимальное значение целевой функции при распределении между предприятиями всей суммы С1=250: F1(250)=55. При этом первому предприятию должно быть выделено x1*=0 ден.ед. Тогда остальным трем предприятиям остается распределить С21-x1*=250-0=250 ден.ед.  Из таблицы этапа 2 выделению суммы С2=250 соответствует значение x2*=100, тогда С32- x2*=250-100=150 ден.ед. Из таблицы этапа 3 выделению суммы С3=150 соответствует значение x3*=50, тогда С43- x3*=150-50=100 ден.ед. На последнем этапе 4 определяем x4*=100.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:

X*= (0,100,50,100), который обеспечит максимальный доход, равный

F(250)=g1(0)+g2(100)+g3(50)+g4(100)=0+20+12+23=55 усл.ден.ед.

Вторая задача имеет похожую постановку, но функции дохода являются нелинейными. Для модернизации трех предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 150 денежных единиц. Пусть приросты выпуска продукции, а значит и общего дохода, зависят от выделенной суммы  для i-го предприятия и выражаются соответствующими квадратичными зависимостями:

          

Найдем методом множителей Лагранжа распределение инвестиций между предприятиями, которое обеспечит фирме максимальный прирост продукции.

Перед тем, как составить функцию Лагранжа, запишем функцию суммарного дохода предприятий:  

Тогда функция Лагранжа имеет вид:

Точку условного экстремума определим из необходимого условия экстремума функции многих переменных:

Таким образом, координаты искомой точки экстремума имеют вид: .

Отметим, что решение аналогичных практических задач данными  методами является наглядной иллюстрацией  методов оптимизации непрерывных и дискретных  функций дохода предприятия. Отметим также, что данные примеры позволят будущим специалистам в дальнейшем правильно анализировать экономико-математические производственные модели и подбирать соответствующий эффективный метод для их решения.

 

Литература

1.   Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. Киев, «Высшая школа», 1975. 350-351с.

2.   Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций. -М.:Изд.дом «Вильямс», 2001.-447-452с.