Математика /4. Прикладная математика

Федоренко В.Е., Груколенко А.Г.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства имени Петра Василенко

Об эллиптическом проективном соответствии точек на кривой

Возьмем прямую q и угол β со сторонами a, b и вершиной Q (рис. 1) . Будем вращать β вокруг Q по часовой стрелке. Стороны угла β при этом высекают на прямой q пары точек принадлежащие двум рядам точек, находящихся в эллиптическом проективном соответствии, это точки - Е_∞ , Е'_∞; А, А' ; F_∞, F'_∞; Эти пары точек получены при следующих положениях угла β : когда a|| q, a^ q , b|| q.

Таким образом, мы имеем на прямой q эллиптическое проективное соответствие, в котором Е_∞ и F_∞ - две предельные точки, а А, А' –две соответственные точки. Из рис. 1 видно, что ∆ А F_∞ Q ~ ∆ Q Е_∞ А' .

Из подобия этих треугольников имеем :

Откуда, после замены Q F_∞ на Q Е_∞ и А F_∞ на А F'_∞ имеем :

( Q· Е_∞ )² = А Е'_∞· А' Е'_∞ (1)

Учитывая, что Q F_∞ = Q Е_∞ , а А F_∞ = А Е'_∞ , то можно сказать , что вершина Q ( рис. 1 ) является точкой пересечения окружности диаметра Е'_∞ А' с перпендикуляром к прямой q , восстановленным в точке А .

Следовательно, становится разрешимой обратная задача: по заданному эллиптическому соответствию найти вершину угла, порождающего это соответствие.

Докажем теперь, что в формуле (1) может фигурировать любая пара соответственных точек, а не только А, А'.

Перенесем проективные ряды с прямой q на оси прямоугольной системы координат (рис.2). Перемещая один ряд по оси х, а второй ряд по оси у, совместим соответственные точки А, А' с началом координат О. Проективные ряды теперь перспективны. Центр перспективы является вершиной прямоугольника Е'_∞ О F_∞S, построенного на координатных отрезках А F_∞, А' Е'_∞.

Проведя из S произвольный луч, получим в пересечении его с координатными осями, новую пару соответственных точек. Они являются вершинами двух подобных прямоугольных треугольников ∆ SВF_∞ ~ ∆ SВЕ_∞

Из подобия этих треугольников имеем

Откуда SF_∞ ·SЕ'_∞ = BF_∞ ·B' Е' _∞ , или

AF _∞ · А' Е' _∞ = ВF _∞ ·B'E _∞ (2)

Поскольку, S F _∞ =А F _∞ и S Е' _∞ =А ' Е _∞ , получаем (1) в новом виде :

(Q Е' _∞ )² = ВF_∞· B'E'_∞ , что и требовалось доказать.

Из равенства (2) видно, что левая часть выражает площадь координатного прямоугольника SF_∞ОЕ'_∞ , а правая часть – площадь координатного прямоугольника S₁F_∞ОЕ'_∞.. Точка О- это положение центра перспективы S в момент, когда точки В и В' слились в одну точку В₁º В²₁ , совмещенную с началом координат О. Равенство указанных площадей свидетельствует, что переход центра S в положение S₁ происходит по дуге равносторонней гиперболы (х, у - ее асимптоты).

Найдем S₂ – положение центра S в момент, когда он служит вершиной гиперболы. Для этой цели предлагается следующий способ. Проводим х' и у' –биссектрисы углов, образованных осями х, у (рис.2). Из точки S опускаем перпендикуляр на прямую у' и отмечаем его основание Т. Из Т радиусом ТS₁

высекаем на прямой х' точку , которая является искомой вершиной S₂ .

Поскольку по построению Т S₂ = Т S₁ , то из прямоугольного треугольника SОТ следует (S₂О) ²=(Т S₂ ) ² –(Т О) ² или

(S₂О) ²=(Т S₁ ) ² –(Т О) ² ( 3 )

Координаты точек S₁ и S₂ в системе х', у' являются соответственно х _1, у ₁

и а, О. Подставляя их в (3 ), получим а ² = х ₁ ^2_ у ₁ ²

Следовательно, ( 3 ) – уравнение гиперболы, а S₂ - ее вершина.

Заметим, что сторона координатного квадрата S₂ F_∞ОЕ_∞^' (рис. 2) равна отрезку QE_∞^'(рис. 1), что следует из равенства (2) и формулы (1).

Рассмотрим теперь эллиптическую инволюцию. Она задана на прямой q (рис.3) двумя парами соответственных точек А, А^' и В, В^'.

Проводим две окружности: одну диаметром А А^' , а вторую диаметром,

В В^'. Отмечаем буковй Q точку их пересечения. Из Q опускаем перпендикуляр на прямую q и отмечаем его основание F_∞º Е_∞^'.

Так как отрезок Q Е_∞^'(Q F_∞) удовлетворяет условию (2), то Q – вершина угла, порождающего инволюцию. Важно отметить, что при переходе эллиптического проективного соответствия в эллиптическую инволюцию точка Q становится вершиной прямого угла. Переход эллиптического проективного соответствия в эллиптическую инволюцию происходит при совмещении проективных рядов путем вращения оси у (рис.2) вокруг центра S₂.

Таким образом, в данной работе получен способ построения вершины угла, порождающего как эллиптическое проективное соответствие общего вида, так и эллиптическую инволюцию.

Литература

1. Четверухин Н.Ф Проективная геометрия. – М.: 1953, с. 128.