Исследование процесса переноса тепла в битуминозной породе с подвижной границей фазового превращения

Шуханова Ж.К., Ибрагимова З.А., Джусенов А.

Расчет скоростей продвижения фронта расплавления битуминозной породы обычно ведется при постоянных значениях всех теплофизических характеристик материала. Точность получаемых при этом результатов можно оценить лишь на основе более общих решений. Такое решение для линейной зависимости коэффициентов от потенциала было получено Б.Я.Любовым [1] и Лыковым [2]. Предположим, что прогрев зоны материала, претерпевшей фазовое превращение, отсутствует, а температура материала зависит лишь от расположения поверхности фазового превращения и времени, т.е. коэффициенты теплопроводности l и теплоемкости с — линейные функции потенциалов. В этом случае уравнение, описывающее изменение потенциала переноса в зоне претерпевшей фазовое превращение имеет вид:

. (1)

Краевые условия (2)

где — температура, соответствующая фазовому превращению; в частности для разрушения битуминозного слоя это температура расплавления;— температура поверхности слоя. На фронте фазового превращения х=у(), где у () — координата фронта фазового превращения,

(3)

Из условия теплового баланса определяется закон изменения фронта фазового превращения

(4)

где r — теплота фазового превращения.

Если обозначить

то уравнение (1) совместно с условиями (2)—(3) перепишется так

Посредством подстановок и

последнее уравнение преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение

(5)

с условиями ; (6)

. (7)

Если в (5) и (6) положить , придем к задаче с постоянными коэффициентами, когда величина этих коэффициентов принята средней арифметической из их значений для и .

Решение ее имеет вид: . Условие же при приводит к уравнению

, (8)

Решение уравнения (5) ищем в форме ряда

(9)

Значения при и для найдем последовательным дифференцированием уравнения (5), а при n=1 из условия (7):

и т. д

. (10)

Подставляя в (10) полученные выражения для , найдем после некоторых преобразований ряд для определения :

(11). При ряд (11) переходит в ряд, который можно получить из выражения (7). Зная , по выражению (9) можно найти значения для различных значений и определить из графика этой зависимости изменения температуры во времени для различных координатных точек. Скорость продвижения фронта фазового превращения, т.е. расплавления битуминозного слоя определится по формуле

Литературы

1. Голдаев И.П. Создание, исследование и внедрение газоструйных инструментов для термического разрушения горных пород: автореф. дисc. доктора техн. Наука, М., 1965, стр.37.

2. Голдаев И.П. Основы теории газоструйных инструментов. - В кн.: Новые физические методы разрушения минеральных сред. Л.: Недра, 1970, с. 66-75.