Тлеубаева Ж.С., Махамбетжанов Д.Б.

Таразский государственный университет, Казахстан

Оценка точности и достоверности результатов моделирования средствами MATLAB

 

На лабораторных занятиях по дисциплине «Моделирование объектов и систем» студенты специальности 5В070200 – «Автоматизация и управление» знакомятся с методами построения статистических моделей данных с помощью программы Matlab. После успешного завершения занятия студент должен:

·        Уметь  с помощью программы Matlab строить статистические модели экспериментальных данных.

·        Оценивать качество используемых статистических моделей.

 

Пакет MATLAB является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, ориентированной на работу с массивами данных.

На лабораторных занятиях студент в программной среде Matlab выполняет следующие задания:

1.1. Задание скалярных переменных, векторов и матриц в среде MATLAB.

1.2. Статистические расчеты в среде Matlab.

1.2.1. Вычисление различных распределения и плотностей вероятностей.

1.2.2. Генерация случайных чисел.

1.2.3. Вычисление среднего и дисперсии.

1.2.4. Оценка параметров законов распределения.

 

Остановимся подробнее на проверке статистических гипотез.

В статистике термин гипотеза означает предположение, которое не только вызывает сомнения, но и которое необходимо проверить. Например, верно ли, что два набора данных исходят из одного и того же источника. Верно ли, что от дома до работы быстрее доехать на метро чем на автобусе и т.д. При построении статистической модели исследуемого явления приходится делать много допущений и предположений. Обычно все эти предположения и допущения (гипотезы) относятся к характеру функции распределения, т.е. обладает ли функция распределения определенным свойством. При этом вопрос ставится так: сначала высказывается гипотеза «Распределение вероятностей обладает таким-то свойством», а затем спрашивается, верно ли это. Уровень значимости гипотезы – это вероятность ошибочно отвергнуть гипотезу, когда она верна. 

Функции вычисления среднего и дисперсии возвращают математические ожидания и дисперсию указанного распределения в зависимости от его заданных параметров. Имя функции данной подгруппы образуется путем слияния названия закона и окончания stat.

 

Проверка статистических гипотез средствами Matlab.

Для проверки статистических гипотез в программе Matlab имеется несколько функций. Рассмотрим некоторые из них:

[p,H] = ranksum(x,y,alpha) – функция используется для проверки однородности двух генеральных совокупностей на основе критерия Вилкоксона. Входными параметрами функции являются вектора x и y, представляющие собой случайные выборки, относительно которых необходимо сделать заключение принадлежат ли они одному и тому же распределению – т.н. нулевая гипотеза, Н0.  alpha – уровень значимости, на основании которого принимается или отвергается Н0. Выходными параметрами функции являются р –вероятность того, что выборки однородны, т.е. принадлежат одному и тому же распределению. Н – индикатор принятия гипотезы (его значение, равное 1, говорит о том, что нуль-гипотезу об однородности выборок следует отвергнуть при заданном уровне значимости).

[H,P,CI] = ZTEST(X,M,SIGMA,ALPHA,TAIL) – функция используется для проверки гипотезы о том, математическое ожидание (среднее значение) выборки Х из нормального распределения равно заданной величине М (нуль-гипотеза). При этом считается, что дисперсия нормального распределения – SIGMA известна. ALPHA – уровень значимости. TAIL – параметр, определяющий альтернативную гипотезу:

   TAIL =  0, альтернатива: "среднее не равно M".

   TAIL =  1, альтернатива: "среднее больше M".

   TAIL = -1, альтернатива: "среднее меньше M".

 

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

Известно, что выборка Х = 2.568    4.477    3.38    3.42   -0.0065    2.34    4.48   -0.853    1.73    1.78   -0.13    2.12  распределена по нормальному закону. Найти оценку среднего и дисперсии при уровне значимости 0.05.

Вариант 2.

Известно, что выборка Х = 0.102    2.92    0.99    1.44    0.23    0.543    1.56    7.97    0.39    1.62    0.97    0.466  распределена по экспоненциальному закону. Найти оценку параметра распределения при уровне значимости 0.05.

Вариант 3.

Известно, что выборка Х = 7.453    6.373    4.355    5.834    6.157    2.543    2.057    7.53    3.188    3.82    2.47    5.687  имеет нормальное распределение с дисперсией равной 2.5. Принять или отвергнуть на уровне 0.05 гипотезу о том, что среднее данной выборки равно 5. Альтернатива - среднее не равно 5.

Вариант 4.

Известно, что выборка Х =   4.604    3.787    4.318    2.767    3.066    2.579    2.844    4.42    4.345    3.48    2.54    1.666  имеет нормальное распределение. Принять или отвергнуть на уровне 0.05 гипотезу о том, что среднее данной выборки равно 4. Альтернатива - среднее не равно 4.

 

Литература:

1.                 Б.Я.Советов, С.А.Яковлев. Моделирование систем. Практикум. М.: Высшая школа, 2003.

2.                 Д.Н.Шукаев. Компьютерное моделирование Алматы: КазНТУ, 2001.