Таттибеков К.С.

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Солитонное решение одной (2+1)-мерной спиновой модели

Интегрируемые спиновые системы обладают интересными геометрически- и калибровочно-инвариантными свойствами, и имеют важные применения в прикладном магнетизме. Они также тесно связаны с семейством нелинейных уравнений Шредингера.

В работе рассмотрена спиновая система с потенциалом в (1+1)-размерности и (2+1)-мерное обобщение. Найдены представления Лакса, эквивалентные аналоги и некоторые редукции. Построено преобразование Дарбу для (неизоспектральной) пары Лакса и солитонное решение.

Будем исходить из уравнения Мырзакулова- Лакшманана-II (вкратце уравнения MЛ-II), которое имеет вид

(1)

Здесь и , - матрицы Паули, и - постоянный параметр. Вектор можно рассматривать как потенциальный вектор. Уравнение MЛ-II интегрируемо. Заметим, что если предполагать W=0, тогда уравнене МЛ-II (1) редуцируется к уравнению M-I [2]. Если рассмотреть случай y=x, (1) преобразуется к следующему уравнению M-XCIX [3]

(2)

Уравнение МЛ-II (1) интегрируется с помощью МОЗР [1]. Соответствующее лаксовое представление для уравнения МЛ-II можем написать в следующем виде

Здесь матричные операторы U и V, соответственно, имеют формы

(3)

где

Следует отметить, что для этой модели спектральный параметр удовлетворяет уравнению: которое имеет, например, следующие конкретные решения: , где в целом некоторые комплексные постоянные.

Как хорошо известный метод нахождения явных решений нелинейных уравнений в частных производных, преобразование Дарбу первого порядка задается матрицей Дарбу где - спектральный параметр, и R и T являются матрицами такими, что может быть написано в терминах решений пары Лакса [4].

Очевидно, что коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют симметрию

где Если является решением уравнения (3) при , то является решением уравнения (3) при

Для векторного поля рассмотрим случай в (1). Преобразование Дарбу пострим следующим образом. Пусть будет ненулевым решением уравнения (3) при ,

(4)

Пусть

где A есть 2×2 матрица, которая будет определен. Теперь проверим, чтобы являлась матрицей Дарбу для уравнения (3) при соответствущем выборе А. Для некоторого решения уравнения (3), удовлетворяет уравнениям

(5)

для эрмитовой матрицы с и и действительной функцией

Из уравнений (3), и удовлетворяют, соответственно

Тогда, удовлетворяет

Подставляя вместе с в уравнение (5), получим и

(6)

где

Более того, при

Следовательно

где - вещественные функции. Тогда

Подставляя его в уравнение (6), выводим

Для бесследной матрицы имеем

(7)

Теорема. Предположим, что является решением уравнения (1). Пусть

(8)

где - вещественные постоянные, Пусть является решением уравнения (3) при Пусть

Тогда является матрицей Дарбу для уравнения (3). Решением уравнения (1) является

который глобально определен для всех x, y, t.

Чтобы получить явное выражение для решений, берем за основу решения уравнения (1). Пусть задается в виде (8), тогда парой Лакса (3) с является

Его решением будет где есть 2×2 матрица, элементы которой является голоморфными функциями от µ. Пусть

где представляет собой аналитическую функцию от µ, тогда

где Новое решение уравнения МЛ-II имеет вид

Отметим, что уравнение Мырзакулов-Лакшманана-II (МЛ-II) является (2+1)-мерным обобщением уравнения ферромагнетика Гейзенберга и имеет неизоспектральную пару Лакса.

Литература

1. Захаров В.Е.,Манаков С.В., Новиков С.В., Питаевский Л.П. –Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.:Наука, 1980.

Journal of Mathematical Physics. – 1998. – Vol. 39. – P. 3765-3771.

3. Myrzakulov R., Nugmanova G., Syzdykova R. Gauge equivalence between (2+1) - dimensional continuous Heisenberg ferromagnetic models and nonlinear Schrödinger-type equations // Journal of Physics A: Mathematical & Theoretical. – 1998. - Vol. 31, № 47. - P. 9535-9545.

4. Ma W M. Darboux Transformations for a Lax Integrable System in 2n Dimensions // Letters in Mathematical Physics. – 1997. – Vol. 39. – P. 33-49