Ст. преп. Дзогий И.В.

Брянский государственный университет имени ак. И.Г. Петровского, Россия

О НЕКОТОРЫХ ОЦЕНКАХ МОДУЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ

В НЕКОТОРОЙ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ ФУНКЦИИ.

1. Оценка модуля аналитической в полуплоскости функции.

Обозначим через класс положительных возрастающих непрерывных функций на ), удовлетворяющих условиям:

a) выпукла вниз при 0;

b) ;

c) =+ .

Теорема 1(Маслякова) (см. [1]). Пусть функция , аналитическая и ограниченная в полуплоскости , непрерывная вплоть до границы этой полуплоскости, включая бесконечно удаленную точку, удовлетворяет условию

), (1)

где . Тогда при

K= . (2)

2. Оценка в классах И.И. Привалова в полуплоскости.

Обозначим через класс аналитических в правой полуплоскости функций , удовлетворяющих условиям:

1) , , где

2) .

Такой классфункций называют классом Привалова И.И. в правой полуплоскости.

Теорема 2 (см. [8], [11]). Пусть функция , и на границе почти всюду удовлетворяет условию

), (3)

где . Тогда всюду в справедлива оценка

, K= . (4)

3. Оценки в классах И.И. Привалова в прямолинейной полосе.

Обозначим через класс аналитических в прямолинейной полосе функций , удовлетворяющих условиям:

, , где

.

Обозначим через класс положительных возрастающих непрерывных функций на ), удовлетворяющих условиям:

a) выпукла вниз при 0;

b)

c) =+ .

Теорема 3 (см. [9]). Пусть функция , и на границе почти всюду удовлетворяет условию:

), (5)

где . Тогда всюду в справедлива оценка

, K= . (6)

4. Оценки в классах И.И. Привалова в круге.

Обозначим через класс аналитических в единичном круге функций удовлетворяющих условию:

, , где

Теорема 4 (см. [9], [12]). Пусть функция , и на границе D почти всюду удовлетворяет условию:

, (8)

где непрерывная неотрицательная функция такая, что , выпукла вниз и а также d . Тогда всюду в D справедлива оценка

, K=const. (9)

Литература

1. Масляков Ю.И. Об убывании функций, аналитических в полуплоскости / Ю.И. Масляков / / Математический сборник. – 1966. – Т. 69, №4. – С. 658-662.

2. Привалов И.И. Граничные значения однозначных аналитических функций / И.И. Привалов. – Москва-Ленинград: Гостехиздат, 1950.

3. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции / М.А. Евграфов .–М.: Физматгиз, 1962.

4. Титчмарш Е. Теория функций / Е. Титчмарш. – М.-Л.: Гостехиздат, 1951.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В.Шабат. – М.: Физматгиз, 1958.

6. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н.В. Говоров – М.: Наука, 1986.

7. Никольский Н.К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа / Н.К. Никольский // Труды ордена Ленина математического Института имени Стеклова В.А. – Л.: Наука, 1974.

8. Щербенко И.В., Яшина Е.В. О некоторых оценках в одном пространстве аналитических в полуплоскости функций / И.В. Щербенко, Е.В.Яшина // Материалы Воронежской весенней математический школы. Современные методы теории краевых задач. – Воронеж, 2003. – С. 161.

9. Шамоян Ф.А., Щербенко И.В. О некоторых оценках в одном пространстве аналитических в прямолинейной полосе функций / И.В. Щербенко, Ф.А. Шамоян // Сборник студенческих научных работ БГУ: тезисы докладов. – Брянск: Издательство БГУ, 2003. – С. 12.

10. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций / Ф.А.Шамоян // Сибирский математический журнал. – 1990. – Т. 31, № 2. – С. 197-215.

11. Дзогий И.В. Оценки модуля аналитической в полуплоскости функции / И.В. Дзогий // Интеллектуальные системы в производстве. – Ижевск: Издательство Ижевский государственный технический университет им. М.Т. Калашникова, 2016. – № 4(31). – С. 8-12.

12. Дзогий И.В. О некоторых оценках в одном пространстве аналитических в единичном круге функций / И.В. Дзогий // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. – Москва:, 2015. – № 2-1. – С. 21-24.