Математика/ 1. Диференціальні й інтегральні рівняння

К. ф.-м.н. Готинчан І.З. , cт. викл. ^*Готинчан Г. І.

Чернівецький торговельно-економічний інститут КНТЕУ, Україна

^*Чернівецький факультет НТУ «ХПІ», Україна

Побудова розв’язку системи диференціальних рівнянь Ганкеля 1-го роду – (Конторовича- Лєбєдєва) 2-го роду – Лежандра 2-го роду – Фур’є на полярній осі методом функцій Коші

Побудуємо на множені розв’я-зок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Ганкеля 1-го роду, Конторовича – Лєбєдєва 2-го роду, Лежандра 2-го роду та Фур’є для модифі-кованих функцій

(1)

за умовами спряження

(2)

У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Фур’є , Ганкеля Конторовича-Лєбєдєва узагальнений оператор Лежандра [2].

Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти , , , , , .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ган-келя утворюють функції Бесселя уявного аргументу (модифіковані функції Бесселя) першого роду та другого роду [1]. Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Конторо-вича-Лєбєдєва утворюють модифіковані циліндричні функції Бес-селя першого роду та другого роду [1]. Фундамен-тальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра утворюють узагальнені функції Лежандра першого роду та другого роду , де [1]. Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є утворюють функції та [1].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати розв’язок крайової задачі (1) - (2) методом функцій Коші [1]:

,

,

, (3)

,

де функції Коші мають наступний вигляд:

(4)

(5) (6)

(7)

У рівностях (4) - (7) беруть участь функції

,

де - гамма функція Ейлера [1].

Умови спряження (2), для визначення величин та , дають алгебраїчну систему шести рівнянь:

,

,

, (8)

,

,

.

У системі (8) беруть участь функції:

,

,

.

Введемо до розгляду функції:

,

,

,

,

,

,

,

,

Припустимо, що виконана умова однозначності розв’язності крайової задачі (1) - (2): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (8)

(9)

Визначимо головні розв’язки задачі (1) - (2):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

, ,

,

,

, ,

,

,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

,

,

, ;

2) породжені неоднорідністю системи функцій впливу

, ,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

,

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8) й підстановки одержаних значень та у рівності (3) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) - (2)

(10)

Вектор-функція , де визначені формулою (10), описує в точній аналітичній формі розв’язок крайової задачі (1) - (2). Алгоритмічний характер формули (10) дає можливість використовувати одержаний розв’язок як у теоретичних дослідженнях, так і в інженерних розрахунках.

Література:

1. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення (Фурє, Бесселя, Лежандра). Частина 1 / М.П. Ленюк, М.І. Шинкарик. – Тернопіль: Економ. Думка, 2004. – 368 с.

2. Готинчан І.З. Гібридне інтегральне перетворення (Конторовича - Лєбєдева) – Фур’є – Бесселя – Ейлера на сегменті полярної осі/ І.З. Готинчан, Г.І. Готинчан // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико – математичні науки: зб. наук. праць / Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, КПНУ ім. І. Огієнка. - Кам’янець – Подільський: КПНУ ім. І. Огієнка, 2013. – Вип. 8. – С. 33-51.