Математика/5. Математическое моделирование

Савченко О.В.

Себряковский филиал Волгоградского государственного

архитектурно-строительного университета, Россия

Распространение сверхкоротких импульсов

в круглых композиционных структурах

В настоящее время с совершенствованием технологии импульсы становятся более короткими, а длина оптического волокна увеличивается. Современные установленные телекоммуникационные системы способны передавать очень короткие оптические импульсы на несколько сотен километров без преобразования в электрическую форму. Возможность генерации в последнее время видеоимпульсов длительностью 1-10нс, а в системах пикосекундной и аттосекундной оптики длительностью 10^-2-1пс ставит в теоретическом плане задачи, существенно отличающиеся от задач распространения гармонических полей, модулированных квазимонохроматических сигналов с прямоугольной или гауссовой огибающей.

Однако по мере сокращения длительности сигналов и увеличения длины волокон оптических линий начинает проявляться негативное влияние ранее не принимавшихся во внимание физических явлений. Дефекты в процессе производства волокна вместе с механическими изгибами и напряжениями, возникающими во время изготовления кабеля и его прокладки, приводят к небольшим отклонениям от идеальной цилиндрической формы. Это приводит к уширению импульса и к ухудшению качества связи.

Одним из основных видов современных средств связи являются радиорелейные и спутниковые линии связи, которые используются для передачи сигналов многоканальных телефонных сообщений, радиовещания и телевидения, телеграфных и других видов сигналов в СВЧ диапазоне. Такие системы передачи построены с применением волноводов различного типа, в них широко применяются круглые волноводы.

Ультракороткие оптические импульсы, содержащие одно или несколько колебаний электромагнитного поля, привлекают все большее внимание в связи с задачами оптической связи, спектроскопии высокого временного разрешения, ударного воздействия излучения на среду. Особенностью рассматриваемых видеоимпульсов является то, что при анализе их поведения практически невозможно выделить периодическую несущую частоту. Успехи в генерации таких сигналов системами пикосекундного и фемтосекундного диапазонов стимулировали разработку новых разделов радиофизики и оптики импульсной электродинамики сплошных сред. Видеоимпульсы, излучаемые этими системами, отличаются асимметрией и несинусоидальными формами огибающих. Взаимодействие ультракоротких видеоимпульсов с диспергирующими и проводящими средами зависит от формы и длительности огибающих. Анализ такого взаимодействия существенно усложняется, когда длительность огибающей приближается ко времени релаксации поля в среде или когда характерная длина импульса становится соизмеримой с размерами отражающего тела.

Стандартные решения уравнений Максвелла, которые обычно строятся в частотной области в виде произведения функций зависящих от времени и пространственных координат (разделяющиеся решения) пригодны, как правило, только для квазимонохроматических сигналов с прямоугольной или гауссовой огибающей. Однако попытки применить этот подход к анализу и синтезу параметров композиционных волноведущих структур наталкиваются на большие трудности математического описания данных явлений и физической интерпретации результатов. Следует подчеркнуть, что отмеченные трудности связаны не с уравнениями Максвелла, а с традиционным методом их решения с помощью преобразований Фурье.

Для исследования ультракоротких видеоимпульсов без допущения о малости или медленности изменения полей (разделения переменных и Фурье разложений) необходимо находить неразделенные решения волновых уравнений относительно составляющих электрического и магнитного полей непосредственно во временной области. Указанный подход проиллюстрирован на анализе волнового уравнения относительно поперечной составляющей электрического поля импульсной волны в круглом волокне, у которого материальные характеристики зависят от поперечных координат.

При помощи конечного числа преобразований волнового уравнения и лабораторных координат оно переходит в уравнение типа Эйлера-Пуассона-Дарбу, решения которого определяются формой аппроксимации материальных характеристик волноведущей среды. В частности, если выражение для обобщенного профиля диэлектрической проницаемости удается «свернуть» в одну из известных специальных функций, то удается преобразовать волновое уравнение к целому семейству уравнений в обыкновенных производных относительно функций поперечного сечения. Это семейство в общем случае помимо изученных уравнений содержит большое количество уравнений требующих отдельного рассмотрения.

Исследован ряд таких случаев, в которых составляющие электрического и магнитного полей описываются семейством трансцендентных функций. На этой основе описаны некоторые модели реальных видеоимпульсов, в которых, например, возможна произвольная крутизна фронтов, различные промежутки между нулевыми точками. Общим и существенным в указанных случаях является представление поперечных и продольных составляющих электрических и магнитных полей в виде нестационарных непериодических колебаний, свойства которых сильно отличаются от обычных монохроматических волн.

Таким образом, поля в круглых волноводах строго и корректно исследованы с помощью полученных новых численно-аналитических способов решения уравнений Максвелла. Такие неразделяющиеся решения учитывают конечные размеры волноведущих структур, модельные функциональные зависимости параметров сложной среды и характер направляемого излучения в частотной и временной областях. Кроме самостоятельного интереса такие волны служат основой для описания волновых процессов, которыми сопровождается прохождение, отражение и т.д. широкополосных импульсов в круглых волноводах.