Економічні науки/Математичні методи в економіці

к.ф.-м.н., доц., Глушик М.М., Телесницька Н.М.

Львівська комерційна академія

Аналітичне представлення прибутковості підприємства

Ефективна фінансово-господарська діяльність будь-якого підприємства, як правило, передбачає залучення інвестиційних ресурсів. Причому це питання є важливим на будь-якому етапі функціонування підприємства починаючи із етапу створення та закінчуючи його ліквідацією. Підприємство, яке ефективно використовує залучені інвестиційні ресурси, має більший потенціал і більші фінансові можливості, що передбачають підвищення його рентабельності.

Для отримання інвестиційних ресурсів підприємство повинно бути інвестиційно привабливим. Для цілісного уявлення про систему факторів, які визначають інвестиційну привабливість підприємства, необхідно врахувати цілий ряд важливих показників. Одним із таких показників є визначення прибутковості підприємства на основі аналізу його фінансової діяльності. Такий підхід не завжди є ефективним, оскільки вимагає значних витрат часу на її встановлення. Крім цього, важливо визначити динаміку розвитку підприємства. Тому питання обгрунтування прибутковості підприємства є важливим для господарюючого суб’єкта на будь-якому етапі його діяльності. Актуальною є розробка такої методики, яка б дозволила визначити величину прибутковості підприємства і яка повинна бути прогнозованою величиною, що зменшує ризики в інвестиційній діяльності.

Авторами пропонується методика отримання аналітичного представлення прибутковості підприємства на основі аналізу емпіричних даних з використанням методу найменших квадратів (МНК). МНК є одним із самих ефективних і поширених методів математичної обробки результатів спостережень і дослідів. МНК завдяки широкій сфері застосування, посідає виняткове місце серед методів математичної економіки. Задачею МНК є оцінка закономірностей, які спостерігаються на тлі випадкових коливань, та її використання для подальших розрахунків, зокрема, для прогнозів. Аналітичне представлення значно спрощує аналіз прибутковості і визначення привабливості підприємства.

Задача МНК розв’язується шляхом параметричної оцінки функції регресії, що описує залежність однієї величини прибутковості підприємства Y, значення якої (yi) спостерігають з випадковими похибками (θi), від групи випадкових величин X1, X2, …, Xk , які характеризують обсяги інвестування.

Функція регресії - це функція k змінних x1, x2, …, xk, яка є математичним сподіванням величини Y при X1 = x1, X2 = x2, …, Xk = xk:

f (x1, x2, …, xk) =M(Y / X1 = x1, X2 = x2, …, Xk = xk)                           (1)

Вважається, що функція регресії належить заданій параметричній сім'ї f (x1, x2, …, xk, a0, a1,…, am) , де a0, a1,…, am – параметри, що підлягають оцінці за МНК. Оцінки параметрів дають можливість одержати параметричну оцінку функції регресії:

f (x1, x2, …, xk) =                                (2)

Для зменшення похибки θi в подальшому будемо розглядати рівномірне розбиття інвестиції і дохідність в такому випадку буде рівноточною.

Дохідність yi будемо називати рівноточною, якщо дисперсії величин θi

однакові:

Dθi= =const,   (i=1,2,…,к).                                                                (3)

Вихідні дані для МНК (табл. 1) – це k значень дохідності yi величини при вкладених інвестиціях x1, x2, …, xk .

Таблиця 1

Обсяг інвестиції

x1

x2

…

xk

дохідність

y1

y2

 

yk

 

Рівняння зв'язку між y та  має вигляд

yi = f ( , a0, a1,…, am) + θi (i =1, 2,…, к),                                          (4)

де xi – значення величини інвестиції, yi – дохідність при і-му обсягу інвестиції; θi – випадкова величина з нульовим математичним сподіванням (Мθi=0), якою є взяте зі знаком відхилення yi від відповідного значення функції регресії.

Якщо дохідність є рівноточною, то за оцінки параметрів a0, a1,…, am, МНК беруть такі значення, за яких  квадратів відхилень θi є мінімальною (звідси назва методу):

θ = =

Якщо дохідності рівноточні, то за оцінки параметрів  МНК беруть такі значення, за яких сума θ квадратів відхилень θi є мінімальною.

θ = .                                 (5)

У формулі (5) покладемо

.         (6)

Коефіцієнти  невідомі і підлягають визначенню.

Для мінімізації функції θ скористуємося класичним методом пошуку екстремуму. Як відомо, необхідною умовою екстремуму є рівність нулю частинних похідних по  

Знайдемо частинні похідні, отримаємо:

……………………………………………………………………

Коефіцієнти  задовольняють умовам:

             (7)

Отриману систему рівнянь називають нормальною системою рівнянь Гауса

Перепишемо дану систему рівнянь у вигляді зручному для використання:

Дана система представляє систему, що складається з рівнянь з  невідомими і має єдиний розв’язок.

Знайдені з системи величини  підставляємо в (6) і отримуємо аналітичне представлення дохідності підприємства. Степінь апроксимуючої функції (6) вибираємо з умов розташування «хмарки» значень , ( ). Якщо значення  розміщені вздовж деякої прямої, то вибираємо , якщо вздовж деякої параболічної кривої, - то . В інших випадках покладають . Подальше збільшення  призводить до прояву несуттєвих локальних властивостей функції (6) і до труднощів в розв’язанні нормальної системи рівнянь Гауса (7).

Приклад. В розвиток підприємства інвестується 3 млн.грн. Дохідність від вкладення одиниці інвестиції в розвиток підприємства задається таблицею 2

таблиця 2

Інвестиція(млн..грн.)

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Дохідність(млн..грн.)

0,21

0,42

0,59

1,71

1,92

2,00

 

Побудувати аналітичне представлення прибутковості підприємства.

Розв’язування. З таблиці значень вбачається, що між обсягом інвестиції і прибутковістю існує лінійна залежність (тобто «хмарка» значень розміщена вздовж деякої прямої), тому степінь апроксимуючої функції вибираємо рівною , тобто .

Для побудови нормальної системи рівнянь Гауса побудуємо допоміжну таблицю:

0,5

0,21

0,25

0,105

1,0

0,42

1,00

0,42

1,5

0,59

2,25

0,885

2,0

1,71

4,00

3,42

2,5

1,92

6,25

4,8

3,0

2,00

9,00

6,0

 

Нормальна система рівнянь Гауса буде мати вигляд:

Розв’язок даної системи буде:

Аналітичне представлення прибутковості буде:

Аналітичний вираз (6) для визначення прибутковості підприємства можна використати для інтерполяції так і для екстраполяції, тобто використати для встановлення дохідності в межах представленої інвестиції, а також для прогнозу дохідності підприємства за межами наданої інвестиції.

Представлена методика визначення прибутковості може використовуватися в комплексі з іншими фінансовими показниками або самостійно для подальшого визначення інвестиційної привабливості підприємства.

 

Література:

1. М.М. Глушик, Н.М. Телесницька Н.М. Дослідження операцій.(Гриф МОН) – Львів: «Новий світ-2000», 2009. -368 с.

2. Глушик М.М., Телесницкая Н.М. Ефективність інвестиційної діяльності галузі. Materialy VІІ Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji „Strategicznepytania swiatowej nauki – 2011” Volume 4. Ekonomiczne nauki.: Przemysl. Nauka I studia – 104 str. – 3 -9 str.