Економічні науки/ 8. Математичні методи в економіці

Манюк Н.А., Лєсбєкова В.С.

Буковинська державна фінансова академія

МОДЕЛЬ РІВНОВАЖНОГО ЗРОСТАННЯ

ВИПУСКУ ПРОДУКЦІЇ

Математичне моделювання є важливою частиною будь-якого виробництва. Саме на його основі складаються основні моделі розвитку економіки підприємства, однією з них є модель рівноважного зростання випуску продукції, що дозволяє виробництву правильно оцінювати всі фактори які впливають на обсяг випуску продукції і визначає подальший розвиток підприємства. Завдяки застосуванню потужного математичного апарату модель рівноважного зростання випуску продукції є найефективнішим і найдосконалішим методом.

Для того, щоб дослідити ті чи інші економічні явища і зробити висновки про них дуже часто необхідно вміти правильно використовувати математичні методи і моделі. Використання математики в економіці допомагає виділити і описати за допомогою формул найбільш важливі зв’язки між економічними змінними та об’єктами. Головною метою при розробці та дослідженні моделей рівноважного зростання випуску продукції є з'ясування і послідовне обґрунтування основних, найсуттєвіших показників виробництва, а потім складання математичної моделі на основі проведених досліджень. Подібно до інших моделей, моделі зростання є абстрактним, спрощеним відображенням реального економічного процесу у вигляді рівнянь та графіків. Модель рівноважного зростання випуску продукції передбачає поступове зростання пропозиції певних товарів. Математичні методи дозволяють отримати нові знання про досліджуваний об’єкт (оцінка його форми, характер залежностей між його змінними). Математичне моделювання економічних і природничих процесів приводить до необхідності розв’язування рівнянь, які, крім незалежних змінних і залежних від них шуканих функцій, містять також похідні або диференціали від невідомих функцій. Такі рівняння, як відомо, називаються диференціальними [3]. Елементи теорії диференціальних рівнянь знаходять широке застосування в економічній теорії. Розглянемо модель рівноважного зростання випуску продукції [2].

Нехай продукція деякої фірми продається за фіксованою ціною p. Позначимо через q(t) обсяг продукції, реалізованої в момент часу t. Тоді на цей момент часу дістанемо доход . Припустимо, що частина доходу використовується на інвестиції у виробництво реалізованої продукції, тобто

, (1)

де m − норма інвестицій (стале число), причому

Якщо виходити з припущення про не насичення ринку (тобто про повну реалізацію продукції, що виробляється), то в результаті розширення виробництва буде одержано приріст доходу, частина якого знову використовуватиметься для розширення випуску продукції. Це приведе до зростання швидкості випуску продукції (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто

, (2)

де − норма акселерації. Підставивши (2) в (1), дістанемо

або

, (3)

де

Рівняння (3) − це диференціальне рівняння першого порядку з відокремленими змінними, загальний розв’язок якого , де С − довільна стала.

Нехай у початковий момент часу обсяг продукції становить . Тоді .

Виразимо сталу: і підставимо її значення в загальний розв’язок. Дістанемо частинний розв’язок рівняння (2), тобто розв’язок задачі Коші

(4)

Зазначимо, що математичні моделі мають властивість загальності. Так, рівняння (4) описує також динаміку росту цін за постійної інфляції, процес розмноження бактерій, процес радіоактивного розпаду [1].

Дана концепція дозволяє здійснювати точні обрахунки, що неймовірно важливо, зокрема в такій галузі як ядерна фізика, оскільки найменша похибка може призвести до непередбачуваних наслідків. Отже, дана модель широко використовується не лише в економіці, а й в науці взагалі.

Література

1. William E. Boyce, Richard C. DiPrima. Elementary differential equations. Sixth edition. − N.Y.: Wiley, 1997. − 592 р.

2. Математика в экономике: Учебно-методическое пособие// под редакцией Н. Ш. Кремера – М: Финстатинформ, 1999. – 455 с.

3. Барковський В.В.,Барковська Н.В. Вища математика для економістів.−

К.:ЦУЛ, 2002. – 456 с.