Пасічник В.А.

(Дніпропетровський національний університет ім. О. Гончара, Україна)

ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ЗАЩЕМЛЕНОЇ ПО КОНТУРУ ПРЯМОКУТНОЇ ПЛАСТИНИ МЕТОДОМ ЗБУРЕННЯ

Дослідження стійкості пластин і оболонок представляє досить важливу з практичної точки зору задачу, якій присвячена значна кількість наукових досліджень. Удосконалення методів побудови розв’язків задач стійкості пластин зі змішаними крайовими умовами є досить актуальною проблемою, що наполегливо розробляється в наукових дослідженнях. На даний час найбільш широке застосування для визначення критичних зусиль мають чисельні і наближені методи обчислень. Але при цьому слід зазначити, що для змішаних випадків крайових умов закріплення контуру пластини їх використання є досить складним для практичного застосування і не дозволяє отримати задовільну точність обчислень. Особливість цих задач полягає в тому, що характер хвилеутворення, змінність напруженого стану не є попередньо заданими, а визначається як параметрами конструкції, так і навантаженням. Тому розробка наближеного аналітичного методу розрахунку критичних зусиль осьового стиску прямокутної пластини зі змішаними крайовими умовами закріплення контуру є досить актуальною і має важливе практичне значення.

Тому для розрахунку критичних зусиль осьового стиску прямокутної пластини з граничними умовами защемлення контуру пропонується застосувати метод збурення виду крайових умов та апроксимації Паде.

Розглядається прямокутна пластину защемлена по контуру (–a/2£x£a/2; –b/2£x£b/2), яка стискається в напрямку осі Оx силою N¢. Відповідне диференціальне рівняння у безрозмірному вигляді запишеться так

. (1)

где N =N¢ b2/D, D – циліндрична жорсткість пластини, x= x/b, h=y/b, k=a/b.

Крайові умови для рівняння (1) запишемо у вигляді

при , (2)

при . (3)

При e = 0 реалізуються умови шарнірного обпирання пластини по контуру, а при e = 1 – умови защемлення. Для проміжних значень реалізуються умови пружного закріплення контура пластини з коефіцієнтом пружності m = e / (1-e ).

Для побудови розв’язку крайової задачі (1) – (3) у відповідності з методом збурення подамо критичне зусилля і прогин пластини у вигляді асимптотичних рядів по параметру e:

; . (4)

Підставляючи розкладення (4) у диференціальне рівняння (1) і крайові умови (2), (3), в результаті застосування процедури асимптотичного розщеплення за параметром e, отримуємо рекурентну послідовність крайових задач:

: , (5)

при , (6)

при . (7)

: , (8)

при , (9)

при . (10)

Крайова задача нульового наближення представляє собою задачу стійкості прямокутної пластини, яка стискається в напрямку осі Ох поздовжнім зусиллям N₀. Враховуючи, що мінімальне значення критичного зусилля осьового стиснення N₀ досягається при втраті стійкості пластини з утворенням прямосиметричних форм, розв’язок задачі нульового наближення записується так

m, n = 1, 3, 5, ... . (11)

З урахуванням співвідношення (11) з крайової задачі (5) (7) отримаємо значення критичного зусилля осьового стиску в нульовому наближенні:

. (12)

Аналогічно побудувавши розв’язки задач першого та другого наближень отримуємо асимптотичний ряд для визначення критичних сил осьового стиску:

+ … . (13)

Застосовуючи апроксимацію Паде для перших трьох членів ряду (13) отримуємо остаточний розв’язок задачі осьового стиску прямокутної пластини:

. (14)

Для оцінки точності запропонованого підходу проведено порівняння отриманих результатів з результатами чисельних розв’язків для квадратної пластини - N = 8,5540 p². Відрізок асимптотичного ряду (13) при e = 1 дає значення критичного зусилля осьового стиснення N = 5,4512 p² (похибка – 56,9%), а розв’язок отриманий із застосуванням АП (14) при e = 1 дає значення – N = 7,8662 p² (похибка - 8,04%). Аналіз отриманих результатів показує, що розв’язки (13) і (14) для значень e 0,5 відрізняються між собою менше ніж на 5%. Тому, значення параметра e = 0,5 можна вважати границею можливого застосування методу збурень.

Висновки. Таким чином, метод збурення виду крайових умов в комплексі з апроксимацією Паде дозволяє побудувати ефективні розв’язки задач визначення критичних зусиль для пластин, у разі, коли граничні умови перешкоджають відокремленню просторових змінних. Застосування запропонованого підходу дозволяє отримати якісну інформацію про можливі типи поведінки пластинчатих конструкцій із задовільною точністю.