Механика

Танирбергенова А.А.

Карагандинский государственный технический университет, Казахстан

Расчет надежности многоэлементных систем

на основе статических модулей

Одной из основных задач теории надежности является оценка показателей надежности и долговечности систем по известным законам распределения надежности и долговечности ее элементов. Способ вычисления показателей надежности и долговечности существенно зависит от того, как взаимодействуют между собой элементы с точки зрения обеспечения безотказности системы.

В общем случае надежность системы зависит от времени. Однако, если нагрузки и свойства системы неизменны во времени, то анализ надежности можно проводить на основа статических моделей.

Рассмотрим систему, состоящую из элементов, вероятности безотказной работы которых При этом разрушение каждого из элементов считаем независимыми событиями. Пусть элементы взаимодействуют между собой таким образом, что разрушение, хотя бы одного из элементов приведёт к отказу системы в целом. Такое соединение называется последовательным. Вероятность безотказной работы системы есть случайное событие, равное пересечению независимых случайных событий – безотказных работ каждого из её элементов

(1)

В качестве примера расчёта последовательно соединённых элементов рассмотрим модель «слабейшего звена». Пусть плотность распределения напряжения в ом элементе. Для цепи напряжения во всех элементах одинаковы; для стержневой системы закон распределения напряжений одинаков, но различается параметрами. Если функцию распределения предельного напряжения обозначим через то вероятность не разрушения го элемента, при условии, что напряжение в нём равно будет равна Интегрируя это выражение по всевозможным значениям напряжения, найдём безусловную вероятность не разрушения го элемента

Теперь по формуле (1) определяем вероятность безотказной работы системы

(2)

Если напряжения в элементах не случайны, то

где – дельта функция Дирака.

Если напряжения в элементах одинаковы, то получаем

Пусть напряжение во всех элементах одинаково, но не является случайной величиной. Тогда трактуя выражение как условную вероятность, можно записать

(3)

Из формулы (1) видно, что при последовательном соединении надежность системы с увеличением количества элементов быстро убывает. Для повышения надежности системы применяют различные способы дублирования работы отдельных элементов. Такое соединение называется параллельным. Отказ такой системы происходит только тогда, когда откажут все элементы.

Пусть какой-то элемент продублирован раз. В случае параллельного соединения теорема умножения вероятностей применяется к вероятности разрушения (отказа) каждого из элементов. Обозначая их через получим

Отсюда вероятность безотказной работы (4)

Если показатели надежности всех элементов одинаковы и равны то .

Иногда встречаются системы из параллельных элементов, в которых для безотказной работы системы необходимо, чтобы сохраняли работоспособность не менее элементов. Так, в статически неопределимых стержневых системах равно минимальному числу стержней, необходимых для сохранения кинематической неизменяемости системы. При одинаковой надежности всех элементов вероятность безотказной работы такой системы равна

(5)

где сочетание равно

В случае элементов разной надежности надо перебор всех возможных вариантов выхода из строя () элементов.

Простые комбинации подсистемы с параллельным и последовательным соединениями элементов нужно анализировать путем последовательного объединения подсистем в группу параллельно или последовательно соединенных эквивалентных элементов. При этом надежность системы зависит от вида соединения подсистем.

В технике иногда применяют комбинированные системы, которые нельзя свести ни к последовательным ни к параллельным системам. Они рассчитываются путем рассмотрения всех взаимоисключающихся способов появления отказов в системе.

Мы рассмотрим случаи, когда отказ какого-либо элемента не влияет на надежность оставшихся элементов. Однако, для механических систем такая ситуация нехарактерна. Примерами параллельного соединения элементов может служить постановка дополнительных шпонок или болтов, статически неопределимые стержневые системы. В таких системах выход из строя одного элемента приводит к перераспределению усилий в остальных элементах, то есть, не выполняется условие независимости отказов отдельных элементов. Определение надежности таких систем намного сложнее и требует перебора возможных вариантов разрушения избыточных связей с перерасчетом вероятностей неразрушения оставшихся элементов.

В качестве примера рассмотрим систему состоящую из трех элементов. Надежность элементов в исходном состоянии обозначим , вероятность работоспособного состояния го элемента при выходе из строя го элемента обозначим . Вероятность безотказной работы системы (элемента) при выходе из строя нескольких элементов указываем их номерами в индексах, отделенных запятой . Последовательный выход из строя элементов обозначаем индексами, отделенными дефисом – .

Для определения надежности системы надо учесть следующие варианты работоспособного состояния системы.

1. Все элементы работоспособны. Вероятность такого состояния: .

2. Неисправен первый элемент, а остальные в рабочем состоянии:

.

Отсюда круговой перестановкой индексов можно получить ВБР системы при выходе из строя второго и третьего элемента

; .

3. Вышли из строя два элемента, а один элемент исправен. При этом имеются три варианта этого события с вероятностями

; ;

.

4. Вшел из строя сначала первый элемент, затем второй, а третий элемент остался целым. Вероятность этого события: ,

где – вероятность выхода из строя второго элемента после первого.

Аналогично получим

; .

При изменении порядка выхода из строя элементов имеем:

; ;

.

Этими событиями исчерпываются возможные рабочие состояния системы. Суммируя вероятности этих событий, получаем полную надежность системы

Литература:

Бакиров Ж.Б. Вероятностные методы расчета элементов конструкций. – Караганда: КарГТУ, 2001. - 180с.