УДК 517 926

Линейное уравнение третьего порядка

с переменными коэффициентами

Чочиев Тимофей Захарович

Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской Академии Наук и Республики Северная Осетия – Алания.

Старший научный сотрудник, кандидат физико–математических наук.

В работах [3,6] дается подробное исследование нелинейного уравнения класса Риккати. Там же оговаривается что, располагая решением нелинейного уравнения Риккати, линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами решается понижением порядка производной. В настоящем, располагая данными [3,6], даем исследование сложного нелинейного уравнения второго порядка, а на основании этого результата решается линейное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами, методом последовательного понижения порядка производной.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейность, нелинейность, удовлетворение, выполнимость, понижение порядка.

П.1. О нелинейном уравнении второго порядка.

Как убедимся ниже, решение линейного уравнения третьего порядка зависит от решения сложного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка:

где и непрерывно дифференцируемые функции, а непрерывна.

Проведя соответствующую группировку в (1.1) можно его привести к виду

Положим, что правая часть равна нулю

и умножив обе части на ; очевидно, в левой части получим производную произведения

из которого следует:

– постоянная. Полученное равенство можно привести к линейному уравнению второго порядка относительно экспоненциальной функции,

с заданными коэффициентами. Подобное уравнение нами исследовано [4,6], но так как изучается (1.1), то с целью большей доступности изложим последовательно отдельные необходимые моменты. В частности, пусть удовлетворяют:

Тогда согласно тождествам:

уравнение (1.4) перейдет

Относительно квадратных скобок имеем дифференциальное уравнение первого порядка. Следовательно,

Отсюда, для окончательного нахождения z получаем:

где и - постоянные (при x=0,

Если бы знали то практически функция z найдена (см. (1.6)). решение первого уравнения (1.5), относящегося к классу Риккати

где заданные непрерывно – дифференцируемые функции. Чтобы воспользоваться результатами работ [5,6], в уравнении (1.7) примем, что ((см. (1.5)), тогда (1.7) совпадает с первым уравнением (1.5). (1.7) можно переписать следующим образом

Имеет место теорема.

Теорема 1. Если в равенстве (1.7) определяется формулой

где – решение нелинейного уравнения

То имеет место тождественная выполнимость равенств:

Первое равенство переписывается

Или дифференцируя, а после сгруппировав, получим:

Сократив на и еще раз дифференцируя, будем иметь:

Отсюда после группировки следует:

уравнение (1.9), которое по условию удовлетворяет.

Второе равенство (1.10) умножим на ,

и снова его переписываем так

Или

С другой стороны, из (1.8) замечаем

Отсюда

Подстановка этих значений в (1.11) и дает тождество

В третьем равенстве (1.10) вместо внесем одно из значений выражения (1.8) (пусть будет случай когда ) , получим равенство,

Отсюда после дифференцирования,

и приведения подобных членов, получаем равенство,

совпадающее с (1.9) и которое по условию удовлетворяет. Что и требовалось. Из доказательства второго тождества заключаем:

Если – решение уравнения (1.9), то , определенная формулой (1.8), удовлетворяет уравнению , или уравнению (1.7).

Все три тождества имеют место, если – решение уравнения (1.9).

Докажем выполнимость уравнения (1.9); а для этого переписываем его в следующем виде

будем искать в форме

где - постоянная, а и – неизвестные функции. Из (1.15) замечаем, что

Или

Требуется установить выполнимость уравнения (1.14). Перемножим его на ,

тогда при помощи тождественного преобразования оно переходит

.

Или, разделив равенство на , получим:

С другой стороны, из (1.16) следует:

Подставляя эти значения в (1.17), получим:

Итак, для того, чтобы формулы (1.15) служили решением уравнения (1.14) или (1.17), необходима тождественная выполнимость равенства

Или, с учетом формулы (1.15)

Пусть и соответственно удовлетворяют уравнениям

Естественно, тогда равенство (1.19) будет тождеством, тождественно будет удовлетворять и уравнение (1.18), или (1.17).

Таким образом, формулы для и , установленные соответственно из уравнений

имеют вид:

будут обеспечивать тождественную выполнимость равенства (1.8) (см. также (1.19)). Следовательно, тождественно будет удовлетворять уравнение (1.17), или, что одно и то же, уравнение (1.14). Этим определена функция l, которая выражается формулой (1.8) и удовлетворяет уравнению (1.11), или уравнению .

Мы вплотную подошли к формуле, удовлетворяющей уравнению (1.1) или (1.2). А правая часть (см. ) выражения

удовлетворяет уравнению (1.3). Чтобы правая часть (1.22) удовлетворяла уравнению (1.1) воспользуемся известной вариацией Лагранжа. В частности, будем считать и найдем ее, используя (1.22) в равенстве (1.2). Как показывают вычисления, правая часть равенства

удовлетворяет уравнению (1.2); причем вполне определенная функция, удовлетворяющая (1.3) и дается формулой (1.6).

Нужно еще уточнить , входящей в (2.1) и неизвестные постоянные , (см. (1.3) и (2.6)); нахождение которых связано со значением функций в нулевой точке.

Согласно (2.5) и (2.6)

С другой стороны, из (2.2) в нулевой точке имеем (см. (2.7)),

Поскольку – неизвестна, то её будем искать совпадением значений в нулевой точке

Отсюда, при допущении, что , находим

меть Третье тождество выражения (1.5) дает:

Следовательно, из для строим

В силу (2.7) и (2.1)

Таким образом, располагая значениями постоянных (1.26), (1.27) функции и , выраженные соответственно формулами (1.8) и (1.15) и удовлетворяющие (1.7) и (1.17), стали вполне определенными.

П 2. Линейные уравнения третьего порядка.

В настоящем имеем своей целью построение решения для линейного дифференциального уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами

где заданные функции, причем непрерывно – дифференцируемы, а – непрерывны. Полученные в П 1. результаты позволяют изучить (2.1) методом последовательного понижения порядка производной. Действительно, имеет место теорема.

Теорема 2. Если соотношения

удовлетворяют относительно неизвестных , то уравнение (2.1) допускает понижение порядка производной.

В (2.1) коэффициенты заменяем левыми значениями выражения (2.2),

Раскрывая скобки и произведя соответствующую группировку придем к равенству

Выражения, заключенные в круглые скобки, совпадают, относительно круглых скобок равенство есть дифференциальное уравнение первого порядка, а правая часть известна, по условию задана; поэтому

где – постоянная. Очевидно левая часть (2.3) дает понижение порядка производной. Процесс можно продолжить дольше, если бы были известны. Найдем их! Пусть

Из (2.2) имеем:

Подставив эти значения в третье равенство и произведя группировку придем к нелинейному соотношению, совпадающему с (1.2)

которое в развернутой форме есть уравнение (1.1). (2.4) подробно было изучено в П 1. Так как известна (см. (1.6)), то определяются из (2.4) и (2.5). Таким образом, в (2.3) имеем право продолжить процесс понижения порядка.

Для коэффициентов в (2.3) допускаем:

где определяются

Первое уравнение (2.8) подробно изучено в П 1. Поэтому считаются заданными согласно формуле (1.8). В таком случае (2.7) являются тождествами, что дает право (2.3) переписать с учетом (2.7)

или произведя группировку

Относительно скобок мы имеем линейное уравнение первого порядка,

где – постоянная. Следовательно, окончательно для искомой функции записываем

Это и есть общее решение линейного уравнения третьего порядка (2.1). Как видно, если построено решение нелинейного уравнения (1.1), то решение линейного уравнения третьего порядка строим последовательным понижением порядка производной. Ввиду такой тесной связи между уравнениями (1.1) и (2.1), нелинейное уравнение (1.1) будем называть соответствующим нелинейным уравнением линейного уравнения третьего порядка (2.1).

Литература

1. Матвеев Н. М. методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1955. с. 656.

2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Госиздат тех. литературы. 1953. с. 468.

3. Чочиев Т. З. Условие, гарантирующее решение характеристического уравнения Эйлера в квадратурах. // Труды XV международного симпозиума. (МДОЗМФ-2011), Харьков-Херсон, 2011, с. 394-403.

4. Чочиев Т. З. О решении обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка. Вестник Харьковского университета №1037, 2012, с. 224-234.

5. Чочиев Т.З. Об одном варианте исследования уравнения Риккати. // Актуальные проблемы естественных и математических наук в России и за рубежом, международная научно – практическая конференция. Сборник научных трудов по итогам конференции. Новосибирск, 2015. с.10-13.

6. Чочиев Т.З. Дифференциальные уравнения высшего порядка. // XΙΙ международная научно – практическая конференция. «Отечественная наука в эпоху изменений постулаты прошлого и теории нового времени» jss 3385-8879 НАУ часть 3. Екатеринбург 2015 г. с. 18 – 24.