к.т.н., доцент Юничева Н. Р.

Институт информационных и вычислительных технологий, Алматы

ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С НЕТОЧНЫМИ ДАННЫМИ

В теории управления объектами с неточными данными сложность решения задачи анализа и параметрического синтеза управления заключается в экспоненциальном росте вычислительных трудностей по мере возрастания размерности объекта управления. Поэтому достаточно острым и актуальным вопросом является разработка методов и алгоритмов, направленных на уменьшение возрастающих вычислительных затрат.

В докладе представлена процедура решения задачи параметрического синтеза управления, которая сведена к разрешимости системы интервальных алгебраических уравнений [1] следующего вида:

,

Задача отыскания решения полученной системы является NP -трудной. Для упрощения задачи и облегчения вычислительных трудностей выделим из интервального вектора настраиваемых параметров точечный вектор (или вектор середин) и используем его в качестве начального приближения. Решение будем искать в классе допустимых решений.

Принято считать, что вектор является допусковым решением системы , если он удовлетворяет для любой матрицы .

Название этого типа решения отражает тот факт, что вектор остается внутри предписанного интервала допусков независимо от выбора матрицы . Вышеуказанное определение можно сформулировать следующим образом: вектор должен удовлетворять следующей системе:

(1)

Воспользуемся доказательством, приведенным в [2].

Шаг 1. Исследование множества допустимых или (допусковых) решений начинается с описания множества, стоящего в левой части (1). Так как в нашем случае - интервальная матрица и вектор , то используя правила интервальной арифметики можно записать следующее множество:

, (2)

где – всегда неотрицательная матрица радиусов, ,

а – средняя матрица или матрица середин,

Если , то для некоторой матрицы . Следовательно, является слабым решением следующей системы:

(3)

и по теореме Оетли-Прагера [2] данный вектор удовлетворяет следующему выражению

, (4)

поэтому

(5)

и

(6)

Таким образом, нами доказано, что левая часть системы (1) представляется в виде следующей системы

(7)

Рассмотрим обратное утверждение, если , то для выполняются выражения (6),(5)(4). Следовательно, - слабое решение (3), что и дает выполнение . Таким образом, выражение (2) выполняется.

Шаг 2. Построение допустимого (допускового) решения.

Если - допусковое решение системы , то для вектора выполняется следующее неравенство

, (8)

где – всегда неотрицательный вектор радиусов, , где и удовлетворяют системе неравенств

,

(9)

Согласно (2) . Следательно, если - допусковое решение, то выполняется включение

Из данного выражения получаем , и далее следует . Данное выражение совпадает с (8)

Если являются решениями (9), то для и для любого имеем

И . Последние два выражения показывают, что включение выполняется для любой . Отсюда следует, что - искомое допусковое решение.

Таким образом, полученные точечные допусковые решения можно использовать в качестве начального приближения при построении интервального вектора настраиваемых параметров для сложного объекта с неточными данными.

Литература

1. Юничева Н.Р. Построение и исследование динамических систем управления линейными интервально-заданными объектами на основе метода общего параметра. Алматы.: ТОО «Классика», 2011. С. 31-32.

2. Fiedler M., Nedoma J, Ramik J., Rohn J., Zimmerman K. Linear optimization problems with inexact data M.: Institute of computer researches. 2008. – 288p.