К.т.н. П.В. Желтов, В.И Семенов, А.К. Шурбин

               Чувашский государственный университет, Россия                      

   

Кратномасштабный анализ сигналов с применением непрерывного быстрого вейвлет-преобразования

 

Разделение (декомпозиция) сигналов на разнотипные составляющие составляет основу кратномасштабного (многомасштабного) анализа (КМА). Понятие «кратномасштабный анализ» сформулировано 1986 году Малла и Мейером. Вейвлеты стали более популярными после введения Малла концепции КМА для дискретных вейвлетов. Он же первым применил вейвлеты для кодирования изображений. Популярность вейвлет-преобразования (ВП) во многом объясняется тем, что оно успешно может использоваться для сжатия изображений. Вейвлеты непосредственно связаны с КМА сигналов. Идея КМА заключается в том, что разложение сигнала производится по базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. При выполнении КМА, пространство сигналов L2(R) представляется в виде системы вложенных подпространств . Разложение функций на вейвлетные ряды на заданном уровне разрешения m,  для дискретного ВП, выполняется по формуле  [1,2]        

                         ,   

где – скейлинг-функция или масштабирующая функция,  – дискретный вейвлет.   Значения коэффициентов

                                        ,                                          

                                        ,          

на практике определяются с помощью дискретного быстрого ВП (алгоритм Малла).

Скелинг-функцию и вейвлет получают с помощью функциональных уравнений. Как правило, они не имеют аналитического выражения.  Математические основы кратномасштабного анализа изложены во многих источниках по дискретному ВП [1,2,3].   

Авторами разработан алгоритм обратного быстрого непрерывного ВП, который позволяет любой сигнал длительности , представить в виде

                                                      .

Используются вейвлеты на основе производных функции Гаусса. А вычисления производятся в частотной области с использованием быстрого преобразования Фурье, что позволяет в реальном масштабе времени обрабатывать сигналы [4,5,6].   

По аналогии с дискретным ВП, все пространство сигналов L2(R) в целом, может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней m декомпозиции сигнала:

                                               .

"Размеры" подпространств непрерывно расширяются по мере уменьшения значения m, а объединение всех подпространств, в пределе дает пространство L2(R). Вейвлеты в подпространствах образуются путем масштабного преобразования ,

                                           ,

где k – целочисленные сдвиги.

Вейвлет  в подпространстве   m

                                    .

Значение параметра а равно 2.

         Образуем из функции такие, что (обозначение ‘‘ не означает двойного дифференцирования)

                      ,и т.д.

Если сигнал  принадлежит пространству , то одновременно он входит и в пространство  и вместе с ним в этом пространстве находится и сигнал. Уменьшение номера пространства позволяет изучать все более и более мелкие детали и особенности сигнала с более высокочастотными компонентами, т.е. переходить от грубого приближения к приближению более высокого разрешения. Тогда сигнал с самым большим временным разрешением . Переменная m называется, так же как для а, масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если значение m большое, то функция  есть грубая  аппроксимация , в которой отсутствуют детали. При уменьшении значений m точность аппроксимации повышается.

На рис. 1  представлены графики функциии его различные аппроксимации, т.е. функции . Сигнал разложен на 12 уровней декомпозиции. На рис. 1  представлена 1/20 часть сигнала. В литературе по дискретному ВП, m-шаговое дискретное ВП называется КМА. Максимальное значение m называется глубиной разложения (декомпозиции) сигнала. Для разработанного алгоритма реконструкции глубина декомпозиции сигнала  равна значению m + 1. На рис. 1 а)  значение m равно 11 – самая грубая аппроксимация сигнала. На всем протяжении сигнала имеет почти постоянное значение.             

                                      а)

                                    б)

                                   в)

                                  г)

                                     д)

   Рис. 1.  Декомпозиция сигнала на  разные уровни

     

На рис. 1 б)  значение m равно 6. На остальных графиках значение m уменьшается от 3 до 1. Видно, что уменьшение масштабного коэффициента приводит к более детальному описанию сигнала. Для  m = 0 коэффициент корреляции Пирсона равен 0,999. Реконструированный сигнал точно повторяет контуры оригинала, и на графике невозможно их отличить.         

Сигнал так же можно исследовать в обратном порядке, т.е. сначала представить мелкомасштабные составляющие, а потом добавлять к этим составляющим более крупные детали, постепенно приближаясь к оригинальному сигналу, как на рис.1, в обратном порядке. 

Так же, как в случае с одномерным сигналом, мы можем наблюдать двумерный сигнал на разных уровнях декомпозиции. На рис. 2  представлены графики двумерного объекта на 4-м, 1-м и 0-м уровнях декомпозиции.

                       а)

                       б)

                            в)

                                                 

                                   Рис. 2. Декомпозиция двумерного объекта

 

         На графиках видно, что сигнал можно с определенной точностью аппроксимировать в зависимости от ограничения количества значений масштабирующего коэффициента m. Тогда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба, также для фильтрации и сглаживания. Например, удалив мелкомасштабные функции, мы можем выделить низкочастотный полезный сигнал или, наоборот, удалив крупномасштабные функции выделить высокочастотный сигнал. Если мы используем  преобразование Фурье для фильтрации сигнала, невозможно удалить локальные шумы, а ВП позволяет удалить  и их.

         В отличие от дискретного ВП, данный алгоритм удобен и прост. Ненужно вычислять аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты для скейлинг- и вейвлет-функций. Нет необходимости находить сплайновые и пакетные вейвлеты, койфлеты и делать всевозможные «трюки» (по терминологии И. Добеши).

                                                   Литература: 

     1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и принципы  применения. // УФН, т. 166, № 11, ноябрь, С. 1145 – 1170.

2.     Новиков И.Я. Теория всплесков / И.Я. Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

      3. Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС/ Г.-Г. Штарк.  М.: Техносфера, 2007. 192 с.

      4. Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ №2007615024. Непрерывное быстрое вейвлет-преобразование / Семенов В.И.; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ  4 декабря 2007 г.

      5.  Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2009616896. Непрерывное быстрое m + 1 шаговое вейвлет-преобразование /Семенов В.И., Желтов П.В.; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 11декабря 2009 г.

      6.  Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010616103. Непрерывное сверхбыстрое вейвлет-преобразование / Семенов В.И..; зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ  16 сентября 2010 г.