Математика/
5. Математическое моделирование
Антонова А.А., Авагян А.С., к.т.н. Никонов В.В.
ФГОУ ВПО
«Московский государственный университет приборостроения и информатики », Россия
Изучение
параметров процеcса
фильтрации методами теории перколяции
Большое разнообразие моделей и продолжающаяся работа над их модификациями подчеркивает необходимость дальнейших исследований в этом направлении. Узловыми моментами проблемы являются сильная неоднородность и взаимодействие неоднородностей разных типов, которые присущи большинству реальных физических процессов и не укладываются в традиционные макромодели.
Для изучения фильтрации, т.е. процесса протекания жидкостей в среде, было создано множество методов и алгоритмов. Модели сплошной среды, которые исторически использовались для решения такого рода задач, содержат дифференциальные уравнения гидродинамики, что заметно затрудняет процесс моделирования и изучение объекта.
Развитие статистический физики, а именно – появление теории перколяции [1] позволило по новому рассматривать задачу фильтрации. В рамках этой теории рассматривается регулярное движение в случайной среде протекания, а в классических моделях сплошной среды наоборот – случайное движение жидкости в регулярной среде[2].
Известные математические модели фильтрации жидкости описанные Полубариновой-Колчиной П.Я.[3], Басниевым К.С.[4] и другими, основанные на законе Дарси, допускают ряд погрешностей, так как в них не описаны некоторые физические факторы, влияющие на точность результатов моделирования. Учесть влияние этих факторов позволяет теория перколяции.
Рассмотрим классическую модель двухфазной фильтрации Баклея-Леверетта, которая наиболее точно описывает задачу нефтедобычи с помощью дифференциальных уравнений гидродинамики:
где
Эта модель, непоршневого вытеснения нефти водой, описывает процесс конвективного обводнения нефтеносного пласта. Она позволяет учесть различные процессы, сопровождающие двумерную фильтрацию двухфазной жидкости, состоящей из нефти и воды, сквозь простую среду неоднородного коллектора, эффекты связывания остаточной нефти грунтом, смешивания фаз и некоторые другие.
Далее приведено решение уравнения Баклея-Леверетта разностным методом. Для численного решения модель была представлена в виде системы следующих уравнений:
Давление определяется из уравнения (4), при фиксированной водонасыщенности с помощью простых итераций.
В качестве второй изучаемой модельной задачи рассматривается
инвазионная перколяция (т.е. перколяция вытеснением) – динамический
перколяционный процесс вытеснения одной жидкости другой в пористой среде.
Модель является трехкомпонентной, что соответствует понятию многофазная
фильтрация, и позволяет учитывать баланс перетекающих жидкостей. Согласно
теории перколяции пласт аппроксимируется решеткой,
узлы которой отождествляются с порами пласта, а ребра - с капиллярными
каналами. Предполагается, что компоненты (например - нефть, вода и вакансия)
находятся только в поровом пространстве, а доля открытых для протекания каналов
равна
Для численного моделирования
использована следующая аппроксимация для расчета давления (8) и расчета
насыщенности (9):
t – шаг по времени;
В начальном состоянии решетка (пласт) заполнена компонентами в соответствии с приведенными ниже условиями:
Таким образом, ключом к
пониманию причин увеличения нефтеотдачи при нестационарном воздействии, служит
поле давления. Изучение стационарного поля позволяет оценить общий объем
участков месторождения имеющих связь с основным промываемым кластером, но при
этом не промываемых при постоянных давлениях на скважинах. Именно из этих зон
потенциально можно извлечь нефть.
В ходе эксперимента, для построения расчетной сетки используется метод случайного открытия-закрытия рёбер между узлами, то есть рассматривается расчётная задача связей. Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. В результате этого процесса пласт представляет собой случайным образом связанные между собой узлы. Цепочка связанных объектов, называется в теории перколяции - кластер. При определенном проценте открытых ребер появляется кластер соединяющий две противоположные стороны системы, который называется перколяцонным или бесконечным [2].
Сформированная нерегулярная решетка хорошо отражает структуры нефтяного пласта земли. Замкнутые пространства, то есть кластеры не имеют соединения с перколяционным, соответствуют наличию в грунте запертой нефти. Эту часть добыть не возможно без разрушения грунта. Однако в модели образуются замкнутые пространства, связанные с соединяющим кластером одним ребром. Такое соединение не позволяет этой части кластера промываться. Аналогично происходит в реальном грунте, который всегда содержит замкнутую нефть, и плохо промываемые участки – каверны[3].
Выбранная трехкомпонентная перколяционная модель (вода, нефть, вакансия) представляется более физичной, так как нерегулярная решетка перколяционной модели позволяет описать наиболее интересные для изучения трещиноватые породы.
Результаты
численного моделирования представлены на рисунке 1. Показано изменение
количества остаточной нефти во времени с использованием модели Баклея-Леверетта
и перколяционной модели.
Рис. 1 Изменение количества выкаченной нефти во времени
График модели Баклея-Леверетта более плавный, и быстрее стремится к нулю, потому, что не описывает наличие трудно добываемой нефти из коверен. Это доказывает преимущества перколяционной модели и её физичность. Оценить количество нефти, которая находится в кавернах и замкнутых пространствах можно по положению точки пересечения графиков, то есть приблизительно 15-20%.
Надо заметить, что графики стремятся к нулю, так как наличие нефти связанной грунтом учтено построением оси абсцисс. Считается, что не добываемая остаточная нефть приблизительно равна 10%.
Было изучено физическое время работы программного продукта по построенным моделям. Для сетки 50x50 узлов и количества шагов расчета 9900, время работы программы модели сплошной среды составляет 48 секунд. При таких же условиях программа перколяционной модели затратила 39 секунд времени. Очевидно, что при значительном увеличении количества узлов сетки и уменьшении размера шага дискретизации, время работы программного средства модели сплошной среды значительно возрастет. Даже если пропорциональность сохранится, то работать с перколяционной моделью будет значительно быстрее.
Модель, построенная с помощью теории перколяции, хорошо отражает наличие в нефтенасыщенном пласте земли таких геометрических особенностей, как запертые кластеры и каверны. А модель Баклея-Леверетта позволяет изучить такой эффект, как связывание остаточной нефти грунтом, однако является менее физичной.
Время работы программного средства перколяционной модели при одинаковых входящих условиях значительно меньше, что при увеличении количества узлов сетки становится весьма существенным условием.
Литература
1. Broadbent S.K., Hammersly J.M. Percolation processes I. Crystals and mazes. 1957. 629-641 c.
2. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: Теория, приложения, алгоритмы. Изд.2 2012. 112 с.
3. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. - М.: Наука,1977. 664 с.
4. Басниев К.С., Власов А.М., Кочина И.Н., Максимов В.М.
Подземная гидравлика. Москва, Недра, 1986, 303с.