З.Б. Биртаева

КОНВЕКТИВНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА.

Костанайский политехнический колледж

This work about convective distribution of heat is described.

В области решается задача

(1.1)

(1.2)

где и соответственно температуры и влажность грунта; - удельная масса, - теплоемкость, - теплопроводность грунта. А также - коэффициент влагопроводности грунта, - термоградиентный коэффициент.

Для уравнении (1.1) и (1.2) ставятся следующие начально – граничные условия:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Кроме этого задаются температура и влага грунта на поверхности земли:

(1.7)

Требуется определить коэффициент теплопроводности грунта .

Считаем, что система (1.1) – (1.6) справедливо для любых последовательных значении и . Решение системы (1.1) – (1.6) при обозначим через а при

Тогда для разности

Система (1.1) – (1.6) записывается в виде

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Введем скалярные произведения

Умножим (1.8) на произвольную функцию и интегрируем по всем внутренним точкам области . Тогда

Интегрируя по частям получим

Учитывая граничные условия (1.9) и (1.10), кроме того полагая

выводим, что

Еще раз интегрируя по частям, имеем

Или учитывая (1.9) перепишем его в виде

(1.13)

Умножим (1.11) на функцию и интегрируем по всем внутренним точкам области . Тогда

Интегрируем по частям по двум переменным и :

Положим, что

и . Тогда используя начально-граничные условия (1.12) имеем

Или еще раз применяя формулу интегрирование по частям получим

Учитывая граничные условия (1.3), (1.9) и (1.12) получаем

(1.14)

Складываем (1.13) и (1.14):

Функция и выбираются так, чтобы имело место равенства

Тогда

Дополнительно ставятся следующие граничные условия для и на поверхности земли:

После этого получается неравенство

(1.15)

В ходе вывода формулы (1.15) нами была получена задача

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)