Технические науки/2. Механика

к.т.н. Э.Н. Оширов, О.Ц. Мерхинова, к.ф.-м.н. П.Л.Абидуев

Бурятская государственная сельскохозяйственная академия им. В.Р. Филиппова , Россия, Улан-Удэ,

Замкнутые решения интегрального уравнения регулирования стока.

В статье получены обобщённые водохозяйственные характеристики регулирования стока посредством решения интегрального уравнения.

Ставится следующая задача. Пусть задан некоторый объем . Этот объем случайным образом заполняется объемами .

Функция плотности поступления объема в объем задается в виде .

В момент поступления объема из объема изымается некоторый заданный объем , причем если объем ->, то значение заполнения объема до отметки принимается равным ; если -<0, то.

Требуется определить вероятность заполнения объема до заданной отметки в бесконечной перспективе.

Обозначим - условную функцию вероятности заполнения объема до отметки в момент, при условии, что в момент отметки была равна . Через искомую функцию, определяющую вероятность наполнения данного объема до отметки .

Запишем формулу полной вероятности для этих двух функций:

(1)

Интеграл понимается в смысле Стильтьеса

Переходя к интегралу Римана, получим:

(2)

Уравнение (2) аналитически разрешимо при <. В противном случае оно имеет разрывное ядро и становится устранимо сингулярным.

В инженерно-гидрологических расчетах наибольшее распространение получили кривые распределения К.Пирсона III типа.

Такая плотность распределения имеет вид

(3)

,

где - коэффициент вариации.

При таком распределении

(4)

Имея в виду (3) и (4) уравнение (2) будет иметь вид:

+ (5)

Уравнение (5) аналитически разрешимо при всех целых значениях параметра .

При дробных значениях интегралы не поддаются интегрированию в элементарных функциях и решение уравнения (2) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Вот некоторые решения уравнения (2):

1) (6)

2) (7)

3) (8)

Здесь параметры А,В,С определяются из системы уравнений:

(9)

где

(10)

Рассмотрим, например, решение уравнения (6). Если тогда (6) имеет вид:

(7)

По этой формуле можно найти все вероятности наполнения объема до любой отметки . Если , то формула (7) указывает на переполнение объема , т.е. холостой сброс.

Если в объеме уровень , то получим дефицит отдачи, которые можно определить из соотношений:

(9)

(10)

Согласно (9), (10) и (7) функции дефицитов отдачи имеет вид:

(11)

Используя (7) и (11) при получим следующий график.

Из графика следует площадь Е_с- объем слива,

Е_n- объем наполнения,

E_g- объем дефицита.

Е_с=

Е_g=

Е_n=

Можно проверить соотношение

Е_с+ Е_g=1.

Физически Е_с – означает, что данная емкость переполнена после отъема отдачи и эту часть воды нужно слить. Е_g – объем воды в хранилище недостаточен для удовлетворения объема , поэтому в любой заданный момент времени объем недостачи будет равен Е_g. Е_n- в любой заданный момент времени в водохранилище будет заполнено в данном объеме.

Таким образом, рассматриваемая методика позволяет рассчитать объем водохранилищ сельских оросительных систем, надежность водоснабжения, объем недостачи воды в засушливые годы, объем холостого сброса в многоводные годы.

Литература

1. Менкель Н.Ф. Водохозяйственные расчеты. М., Гидрометеоиздат, 1952.

2. Бровкович Г.Н. О кривых распределения вероятностей применяемых в гидрологии. Труды первого совещания по регулированию стока. Н.-Л. Изд-во АНССР.1946.