Куанбай Н,  Битибаева А, Тургунова М.

 

Дифференциальный  оператор второго порядка с

инволюцией на всей числовой оси.   Обратный оператор

Южно-Казахстанский государственный университет им.М.Ауезова

 

         Следуя Т.Като [1.с.520] можно рассмотреть обобщенную спектральную задачу

                                                                        ,

где  и     линейные операторы в гильбертовом пространстве . Если

                                                    

                                               

 

то имеем обобщенную спектральную задачу

 

                                       

 

       Если же оператор    определить равенством

 

                                                                    

 

для любой функции  ,    то получим одномерное дифференциальное уравнение второго порядка с инволюцией

 

                                                    (1)

 

      Изучению дифференциальных уравнений с инволюцией посвещены работы  очень многих авторов [см., например,2-3]. Цикл работ А.П.Хромова и его последователей [см., например, 4], М.А.Садыбекова и А.М.Сарсенби  [5-7] содержат результаты исследований по спектральным свойствам дифференциальных уравнений с инволюцией.

      Отметим, что в работе [8] детально изучены вопросы дискретности спектра и полноты собственных и присоединенных функции обыкновенного дифференциального уравнения

 

                                                  

 

а в работе [9] получены условия безусловной базисности в   системы собственных и присоединенных функций этой спектральной задачи.

    Рассмотрим уравнение (1), где комплекснозначный коэффициент   есть функция, суммируемая на каждом конечном интервале числовой оси. Пусть  для  . Любую функцию  из класса , которая абсолютно непрерывна вместе со своей первой производной на каждом конечном интервале числовой оси и при некотором значении комплексного параметра λ почти всюду в ней удовлетворяет уравнению (1), будем называть собственной функцией спектральной задачи  (1). Этим определением описывается область определения оператора

 

                                      ,   

                                     

 ≥1. Другими словами область определения оператора  состоит, из функций   абсолютно непрерывных вместе со своей первой производной на каждом конечном интервале числовой оси, и удовлетворяющих условию

 

                                                         

 

      Заметим, что если , то ввиду симметричности рассматриваемого промежутки,  также принадлежит классу .

     Если заменить в уравнении (1)  на  то получим обычную спектральную задачу

 

                                                      

 

для дифференциального оператора

 

                                                         .

 

Ясно, что  для   . Области определения операторов и  совпадают.

        В следующей теореме покажем плотность области определения оператора  в классе

Теорема 1. Если , то число λ=0 не является собственным значением оператора   .

        Доказательство. Допустим противное. Пусть собственному значению λ=0 соответствует собственная функция , т.е.

                                        .

 

Обе части этого уравнения умножим на комплексно сопряженную функцию  и проинтегрируем на некотором интервале

 

             0.

 

       Проинтегрируем первое слагаемое по частям.

 

    0

 

или

 

     Рассмотрим вещественную часть последнего уравнения.

 

                                                                       

                                                                                                                                (2)

     Далее, во первых,

 

                                                                                                                                                             

                                                                                                                         (3)

 

        Во-вторых, условие  означает, что функция  не отделена от нуля на любом бесконечном промежутке. Значит, существуют последовательности  , такая то  ,  и последовательность     , такая, что  

       Перепишем равенство (2) в виде

 

 (4)

 

       С учетом (3) и сделанных замечаний, заключаем что все слагаемые в левой части равенства (4) положительны. Тогда предельный переход по последовательностям   и  дает равенство

 

 

Отсюда следует . Тогда       .  Теорема доказана.

       Рассмотрим сужение  оператора . Область определения     сужения состоит из финитных функций , каждая из которых абсолютно непрырывна вместе со своей первой производной.

        На   действие оператора   совпадает с действием оператора , т.е.

 

                               

 

для любой функции    . Совокупость функций   составляет область значений оператора  .

        Теорема 2. Множество значении    оператора  плотно в  , тогда и только тогда, когда число  не является собственным значением оператора .

        Доказательство. Достаточность. Пусть число   не является собственным значением оператора . Это означает, что уравнение

 

                                          

 

не имеет ненулевого решения из  класса  .

      Нам нужно показать плотность множества  в  . Допустим противное.

      Пусть множество  не плотно в . Тогда найдется ненулевая функция  ортогональная всем элементам множества   , т.е.

 

                                                      (5)

 

  и   .

              Пусть     и    два  линейно независимых  решения уравнения

 

                                   , 

 

не принадлежащие.  Далее, если  некоторая функция    на некотором конечном интервале    ортогональна  каждой из функций     и   , т.е.

 

                            ,                       (6)

 

то уравнения  

 

                                                

 

имеет решение  , такое, что

 

                            ,

 

                            ,

 

где   вронскиан решений  и  .

      Функция     будет принадлежать    , если продолжить ее на всю числовую ось нулем. Теперь  равенство (5) можно записать в виде      

                     

                                                                                                (7)

 

      Из равенства  (6) следует

 

                                             

 

или

                                         

                             .

 

       Последнее равенство сравнивая с (7), получаем

 

                   ,                                 (8)

 

Поскольку  -произвольны , а  , -линейно независимы, то равенство  (8) верно для всех    .    С другой стороны равенство  (8) показывает, что функция       является  решением уравнения

 

                                   .

 

Но функция , а вместе с ней  и функции ,  принадлежат , следовательно, по условию теоремы    . А это противоречит второму  условию (5). Значит, достаточность доказана.

Необходимость.  Пусть множество   плотно в   . Если число   является собственным  значением оператора     , то существует  функция     такая, что

 

                                           .

 

       Рассмотрим выражение

 

                               

            

где .

      Проинтегрерируем по частям два раза  слагаемое, содержащее вторую производную. При этом в силу финитности функции    все внеинтегральные члены обращаются в нуль. Поэтому мы будем иметь

 

                          

 

      Поэтому равенство

 

                

 

означает ортогональность ненулевой функции  к множество . Следовательно, множество   не плотно в  .  Полученное противоречие доказывает теорему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                  Список использованных источников

1.     Като Т., Теория возмущений линейных операторов  -М.: Мир,  -1972.  –c.740.

2.     Wiener J. Generalized solutions of functional differential equations,  //Singapore World Sci  -Singapore. -1993, с.160-215.

3.     Przeworska-Rolewics D., Equations with transformed argument an    Algebrais approach//       Warszawa. – 1973, р.354.

4.     Хромов А.П., Смешенная задача для дифференциального уравнения с инволюцией и потенциалом специального вида  //Изв.Сарат.ун-та.- 2010. -Т.10. - №4. c.17-22. 

5.     Sadybekov, M.A. and Sarsenbi, A.M., Solution of fundamental spectral problems for all the boundary value probiems for a first-order differential equation with a deviating argument  //Russian, Uzbek.Mat.Zh.-2007. -№3, c.88-94;

6.     Sarsenbi, A.M.,  Unconditional bases related to a nonclassical second-order differential operator//  Russian, Differ.Uravn.46. -2010. -№ 4.  –c.506-511

7.     Садыбеков М.А., Сарсенби А.М.,  Критерий базисности системы собственных функций инволюции   //Дифференциальное уравнения.  

      -2012. –Т.48. -№8.  c.1126.

8.     Лидский В.Б.,  Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лиувиля с дискретным спектром  //Труды международного мат. общества. -1960, -№ 9. c.45-79.

9.     Sarsenbiev, A.M., The property of  being an unconditional basis for the system of eigen-and associated functions of the one dimensional Schrodinger operator on the entire axis //Russian, Izv.Akad.Nauk Kazakh.SSR Ser.Fiz.-Mat.  -1989.  -№5. p.31-34.