М. П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ ”ХПІ”

 

СКІНЧЕННЕ ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ БЕССЕЛЯ-ФУР’Є-ЛЕЖАНДРА НА СЕГМЕНТІ З ДВОМА ТОЧКАМИ СПРЯЖЕННЯ

 

Побудуємо інтегральне перетворення, породжене на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО).

   

                                                                           (1)

У рівності (1) - одинична функція  Гевісайда [1], - диференціальний оператор Бесселя [3], - диференціальний оператор Фур’є [2],   - диференціальний оператор Лежандра [4]:

Означення: Областю задання ГДО   назвемо множину G вектор-функцій з такими властивостями:

1)     вектор-функція неперервна на ;

2)      функції  задовольняють крайові умови

              (2)

    3) функції  задовольняють умови спряження

    (3)

Припускаємо, що виконані умови на коефіцієнти:

Зазначимо, що з умов спряження (3) для  та  випливає базова тотожність:

              (4)

Визначимо числа

вагову функцію

  

                                                                (5)

та скалярний добуток

                                     (6)

Переконаємося, що справджується рівність

                                                                   (7)

Згідно правила (6) маємо:

           (8)

Проінтегруємо під знаками інтегралів два рази частинами:

                         

                   (9)

         Якщо  то

                             (10)

Якщо  то

                            (11)

В точці спряження внаслідок базової тотожності (4) при  знаходимо, що

      (12)

тому, що  в силу вибору чисел  та  вираз

В точці спряження   внаслідок базової тотожності (4) при знаходимо, що

                                           (13)

тому, що в силу вибору чисел  та  вираз

Внаслідок рівностей (10)-(13) позаінтегральні доданки в рівності (9) рівні нулю. Об’єднуючи інтеграли, що залишилися, отримуємо рівність (7)

         Наявність рівності (7) означає, що  самоспряжений. Оскільки ГДО  на множині  не має особливої точки, то спектр ГДО  дійсний і дискретний [6]. Власні елементи ГДО  знайдено як ненульовий розв’язок породженої ГДО  спектральної задачі Штурма-Ліувілля.

         Припустимо, що -спектральний параметр (власне число ГДО ), а функції - компоненти спектральної вектор-функції

                                        (14) 

яка відповідає власному числу .

                   Функції повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння Бесселя, Фур’є та Лежандра для звичайних функцій

                                                              (15)

                                  

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  складають функції Бесселя першого роду та другого роду [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  складають функції  та  [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра  складають узагальнені приєднанні дійсні функції Лежандра першого роду  та другого роду [4];

         Якщо покласти

                     (16)

                            

то крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення шести величин  дають однорідну алгебраїчну систему шести рівнянь:

  (17)

         Введемо до розгляду функції:

Однорідна алгебраїчна система (17) має ненульові розв’язки тоді й тільки тоді, коли визначник системи рівний нулю  [5]:

                       (18)            

У рівності (18) беруть участь функції:

Алгебраїчне рівняння  є трансцендентним рівнянням для визначення власних чисел  ГДО .

Підставимо в систему (17)  й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. Якщо взяти , де  підлягає визначенню, то перше рівняння стає тотожністю, а два наступні рівняння утворюють алгебраїчну систему  двох рівнянь для визначення величин

                                (19)

Згідно правил Крамера знаходимо, що    

        (20)

При відомих  для визначення  маємо алгебраїчну систему двох рівнянь:

                (21)

Визначник алгебраїчної системи (21) обчислюється безпосередньо:         

         Алгебраїчна система (21) має єдиний розв’язок  [5]:

              (22)

              

         Підставимо визначені формулами  (20) та (22) величини  у рівності (16). Одержимо функції:

                              (23)

               

                

Згідно рівності (14) спектральна вектор-функція стає відомою (визначеною). При цьому її норма визначається за звичайним правилом [5]:

                                

                                                                                                                    (24)

         Згідно з роботою [7] сформулюємо твердження.

Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені  трансцендентного рівняння  складають дискретний спектр ГДО : дійсні, різні, симетрично розташовані відносно  й на півосі  утворюють монотонну зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою згущення .

Теорема 2 (про дискретну функцію). Система власних функцій  ортогональна на множині  з ваговою функцією , повна й замкнена.

Теорема 3 (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-функція  зображається за системою  абсолютно й рівномірно збіжним на множині  рядом Фур’є:

                       (25)

Ряд Фур’є (25) визначає пряме  й обернене  скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині  ГДО :

                                 (26)

                    (27)        

 Визначимо величини та функції:

Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція  неперервна на множині , а функції  задовольняють крайові умови

         (28)

 та умови спряження

                 (29)

то має місце основна тотожність СГІП ГДО :

            (30)

Доведення:  Згідно правила (26) одержуємо:

       

                                                                                                   (31)

Проінтегруємо в рівності (31) під знаками інтегралів два рази частинами:

                                                                       (32)

Якщо , то знаходимо, що

                     (33)

Якщо , то знаходимо, що

        (34)    

В точці спряження  маємо:

        (35)

тому, що в силу вибору чисел  та  вираз

В точці спряження  маємо:

        (36)

тому, що в силу вибору чисел  та  вираз

Із диференціальних тотожностей

знаходимо диференціальні залежності

       (37)

Зауваження: При одержанні функціональних залежностей (35) та (36) ми скористалися базовою тотожністю для випадку, коли умови спряження неоднорідні (в правій частині (3) замість нуля стоїть ):

                     (38)

Підставивши в рівність (32) функціональні співвідношення (33)-(37), матимемо залежність:

 

            (39)

Оскільки

,

то тотожність (39) співпадає з тотожністю (30).

Доведення теореми завершено.

Висновок: Побудовані правила (26), (27) та (30) складають математичний апарат для одержання інтегрального зображення аналітичного розв’язку відповідних задач математичної фізики кусково-однорідних середовищ.

 

Список використаних джерел:

1.      Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

2.      Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

3.      Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. - Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

4.      Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

5.      Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

6.      Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368с.

7.      Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228с.