Логачева Н.
Лесосибирский педагогический институт – филиал ФГАОУ ВПО
«Сибирский федеральный университет», Лесосибирск
Использование координатного метода при решении
математических задач в основной школе
Придавая геометрическим
исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию
наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если
в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой
задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения
проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой
задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих
большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода
координат.
Другое достоинство метода
координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости
прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.
Можно выделить следующие цели
изучения метода координат в школьном курсе геометрии [2]:
- дать учащимся эффективный метод решения
задач и доказательства ряда теорем;
- показать на основе этого метода тесную
связь алгебры и геометрии;
- способствовать развитию вычислительной
и графической культуры учащихся.
В школе изучение
координатного метода и обучение его применению для решения различных
математических задач происходит в несколько этапов. На первом этапе вводится
основной понятийный аппарат, который хорошо отрабатывается в 5-6 классах и
систематизируется в курсе геометрии. В 5 классе учащиеся знакомятся с
координатным лучом, который в последствии, при изучении отрицательных чисел,
дополняется до координатной прямой. И уже после введения рациональных чисел в 6
классе учащиеся изучают координатную плоскость. На втором этапе ученики
знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Данные понятия изучаются ими как
в алгебре, так и в геометрии с разной содержательной целью, поэтому учащиеся
часто не видят связи между ними, а, значит, и плохо усваивают суть метода. Так,
в курсе алгебры VII
класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек,
координаты которых вычисляются по аналитическому заданию функции. В курсе
геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе геометрических
характеристических свойств, как множество точек, обладающих определенным
свойством (равноудаленности от двух точек – для прямой, от одной точки – для
окружности). Обучение применению самого метода координат для решения задач
происходит в курсе геометрии 9 класса. Для этого сначала раскрываются основные этапы применения метода, а затем на
примере ряда задач показывается непосредственное применение метода координат.
Перечислим основные задания на применение координатного метода в
основной школе: переводить геометрический язык на аналитический для одного типа
задач и с аналитического на геометрический для другого; строить точку по
заданным координатам; находить координаты заданных точек; вычислять расстояние
между точками, заданными координатами; оптимально выбирать систему координат;
составлять уравнения заданных фигур; видеть за уравнением конкретный
геометрический образ; выполнять преобразование алгебраических соотношений.
Приведем пример на применение координатного метода.
Задача. Найдите
множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.
Решение.
1.Обозначим данные точки через А и В. Выберем
систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат
служила точка А. Предположим далее, что АВ = а, тогда в выбранной системе
координат точки А и В будут иметь следующие координаты А(0,0) и В(а,0). Точка
М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или,
что то же самое, АМ2=МВ2. Используя формулу расстояния от одной точки координатной
плоскости до другой, получаем АМ2=x2+y2, MB2=(x-a)2+y2. Тогда х2+у2=(х-а)2
+ у2
Равенство х2+у2=(х-а)2+у2 и является
алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап
ее решения (перевод задачи на координатный язык).
На втором этапе осуществляется преобразование полученного
выражения, в результате которого получаем соотношение 
.
На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на
геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой,
параллельной
оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние 
, т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
Таким образом, достаточно
простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения
задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся
значительно упростить и сократить процесс решения задач. Это помогает им при
дальнейшем изучении, как школьного курса математики, так и при изучении
математических курсов в высших учебных заведениях.
Литература:
1. Лященко, Е.
И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики:
Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов [Текст] / К. В.
Зобкова, Т. Ф. Кириченко – М. Просвещение, 1988г. – 233с.
2. Программа по
математике для средней школы - М. Просвещение, 1998г. -205с.