д.т.н. Ромм
Я.Е.
Таганрогский
государственный педагогический институт им. А.П. Чехова, Россия
Метод программной локализации
экстремумов в приложении к математическим моделям экономики
Излагается
построение программной схемы локализации экстремумов функций в произвольной области определения. Эта
задача классифицируется как задача оптимизации и имеет многообразные приложения
в математических моделях экономики. Помимо того, на данной основе (как минимумы
модулей) вычисляются нули полиномов. Как следствие, вычисляются корни
характеристических полиномов матрицы. В математической экономике большую роль играют
так называемые продуктивные матрицы.
Программное вычисление собственных значений матрицы позволит сделать вывод о ее
продуктивности.
Метод
основан на применении внутренней адресной сортировки по ключу (ниже
сортировки), сохраняющей порядок равных элементов. Пусть вначале
рассматривается функция одной действительной переменной 
у которой требуется
определить все экстремумы на произвольно заданном промежутке, входящем в
область ее определения. Строится равномерная сетка. В узлах сетки считываются
значения функции, они принимаются за элементы сортируемого массива
. (2)
Массив (2)
сортируется. Для определенности взята сортировка подсчетом изложенной в [1].
Тогда условие локализации всех минимальных элементов последовательности (2)
примет вид
, (3)
где
– элемент массива
индексов на выходе сортировки. Смысл условия (3) в том, что в 
-окрестности входного элемента с индексом 
нет элемента в отсортированном
массиве, превосходящего элемент с этим индексом.
Присоединение
условия локализации к программе сортировки массива (2) дает устойчивую
локализацию минимумов функции (1) [1].
Для
локализации и вычисления нулей функции достаточно на вход сортировки подать
абсолютные величины значений функции.
Применение
метода к вычислению нулей полиномов с учетом кратности. Будем рассматривать полином 
, у которого могут быть комплексные нули и комплексные
коэффициенты. Умножив его на комплексно-сопряженное значение, получим функцию 
. Очевидно, нахождение нулей 
сводится к нахождению
нулей функции 
от двух
действительных переменных. Таким образом, комплексные нули многочленов ищутся
как минимумы модуля этих многочленов по схеме, описанной выше схеме [2].
Локализация
и вычисление собственных значений матриц. Будем искать собственные значения
матрицы
с учетом кратности.
Для их программного определения необходимо предварительное вычисление
коэффициентов характеристического полинома из левой части уравнения 
.
Для этого
используется метод Леверье ввиду невосприимчивости к частным особенностям
матрицы и простоты программной реализации. Метод Леверье содержит следующие
операции [3]: построение степеней матрицы 
от первой до 
-ной включительно; вычисление следов этих степеней; решение
системы уравнений Ньютона: 
, где 
, 
– след матрицы 
. Программу выполнения метода Леверье можно дополнить
оценками области расположения нулей полинома [3].
Приложение
метода к экономическим исследованиям. Описанный
метод нахождения собственных значений матрицы может использоваться, например, в
динамической модели В. Леонтьева, определяющей траектории сбалансированного
экономического развития. Качественные свойства этих траекторий зависят от
матриц 
, где 
– матрица прямых затрат, 
– матрица
коэффициентов капиталоемкости, 
– единичная матрица.
В
математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Программное
вычисление собственных значений матрицы 
позволит сделать
вывод о продуктивности этой матрицы. Доказано, что матрица 
является продуктивной
тогда и только тогда, когда все собственные значения этой матрицы по модулю
меньше единицы.
В
заключение отметим, что по всем описанным выше схемам оптимизации, поиска
нулей, экстремумов и собственных значений проводились численные и программные
эксперименты. Результаты экспериментов
[2, 3] устойчиво подтверждают надежность и практическую реализуемость
предложенных схем в достаточно общих условиях.
Литература:
1.
Ромм Я.Е, Заика И.В. Схема поиска экстремумов и нулей
функций на основе адресной сортировки /
ТГПИ. – Таганрог, 2005. – 50 с. Деп. В ВИНИТИ 01. 03. 2005, № 289-В2005.
2.
Ромм Я.Е. Метод вычисления нулей и экстремумов функций
на основе сортировки с приложением к поиску и распознаванию. II // Кибернетика и системный анализ. – 2001.
– № 5. – С. 81 – 101.
3.
Ромм Я.Е. Соловьёва И.А. Метод программного определения
нулей и полюсов функций с учетом кратности в приложении к цифровой фильтрации
// Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики,
экономики и права: Научные труды VII Международной научно- практической конференции.
– С. 178 – 183.