В.И. Евсеев

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия,

кафедра прикладной информатики

УДК 681.32 1 - vladislaw.evseev@yandex.ru, т.89047610772

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ МИНИМАЛЬНОЙ ГРУППЫ

§ 1. Строение бинарных операций

В данной заметке мы изучим семантические структуры, соответствующие бинарным операциях, построенным на основе минимальной группы, строение которой указано в [1, стр.228] под четвертым номером. Ей соответствует исходная матрица конъюнкции, имеющая семантические параметры:

[D, D, C, A] = [1, 10, 4, 1].

Построим исходную матрицу и ее инверсию, которая является бинарной операцией штокъюнкция (штрих Шеффера).

Y X	B	D	C	A
B	C	D	D	C
D	D	D	C	A
C	B	D	C	D
A	D	D	D	D

Y X	B	D	C	A
B	B	D	C	D
D	D	D	D	D
C	C	D	D	С
A	D	D	C	A

Теперь укажем матрицы взаимных поляроидов:

Y X	B	D	C	A
B	C	A	B	A
D	A	A	A	A
C	B	A	D	B
A	A	A	B	D

Y X	B	D	C	A
B	C	D	B	D
D	D	D	D	D
C	D	C	C	D
A	C	A	D	D

Матрицы нильюнкции, дизъюнкции, а также импликаций имеют вид

Y X	B	D	C	A
B	D	C	C	D
D	D	A	D	D
C	C	D	B	D
A	D	D	D	D

Y X	B	D	C	A
B	A	B	B	A
D	B	D	A	A
C	B	A	C	A
A	A	A	A	A

Y X	B	D	C	A
B	B	A	А	В
D	A	A	В	D
C	С	A	B	A
A	A	A	A	A

Y X	В	D	C	A
B	B	A	C	A
D	A	A	A	A
C	А	В	B	A
A	В	D	A	A

Матрицы операций эквиваленции и хартъюнкции имеют следующий вид:

Y X	B	D	C	A
B	B	A	C	D
D	A	A	D	D
C	C	D	B	A
A	D	D	A	A

Y X	B	D	C	A
B	C	D	B	A
D	D	D	A	A
C	B	A	C	D
A	A	A	D	D

§ 2. Семантический анализ конъюнкции минимальной группы.

В качестве примера рассмотрим правильный изотоп группы 4, которая характеризуется параметрами:

= 1, = 1, = 6.

Схема анализа состоит из следующих частей:

а) сначала для каждой бинарной операции строятся матричные представления универсумов (общий и расширенный),

б) затем из расширенной матрицы выделяются подматрицы блоков универсума,

в) для каждого блока выполняется построение частных случаев, которые получаются в зависимости от принадлежности исходных высказываний различным сочетаниям блоков,

г) делаются соответствующие выводы о возможностях сильной или слабой адекватности в каждом конкретном сочетании.

При выполнении этого анализа обычно недопустимые сочетания не указываются, так как они соответствуют пустому множеству и не содержат допустимых при данном сочетании результатов.

Сами результаты помечаются индексом «0», если это – слабо адекватное суждение и символом «1», если это – сильно адекватное суждение.

Изучаемая группа характеризуется набором значений параметров (1,10,4,1), а индекс негативности, как уже отмечено, равен 6, то есть, соответствует «зеленому цвету» в спектре БОКТ.

Сначала, согласно отмеченному алгоритму исследования, строится общий универсум конъюнкции в данной группе, матрица которого имеет вид:

W	1	10	4	1
Y X	B	D	C	A
B	B	D	C	D
D	D	D	D	D
C	C	D	D	С
A	D	D	C	A

С учетом симметричности данной операции и распределением исходных слабо и сильно адекватных суждений приходим к расширенной матрице универсума этой БОКТ:

Y X

Теперь для первого блока этого универсума проводится выборка значений:

Y X

В этой выборке пустые клетки указывают на недопустимые соединения исходных высказываний в этом блоке. Аналогичная выборка проводится для второго блока.

Y X

Для третьего блока универсума этой БОКТ получаем выборку:

Y X

§ 3. Конструкции подматриц первого блока универсума.

Перейдём к конструированию результатов конъюнкции изучаемой группы 4 в каждом возможном сочетании исходных суждений. При этом есть два варианта исследования: во-первых, полное перечисление возможностей с учётом принадлежности как исходных, так и результирующих суждений различным блокам соответствующих универсумов. В этом случае, так как данная операция симметрична, получаем 18 частичных четырёхмерных подматриц (в случае несимметричных операций, таких, как поляризация, будет 27 подматриц). Во-вторых, можно упростить исследование, не выделяя блоки результирующего универсума, в этом случае, получается либо 6, либо 9 частичных подматриц, но более общего вида, каждый из которых называется матрицей адекватности БОКТ. В этом параграфе мы применим первый вариант, а затем проведём его пошаговое исследование, что также обычно предполагается слишком понятным, чтобы на нём останавливаться.

В данном случае при полном семантическом анализе получаем следующие возможные сочетания и подматрицы для первого блока:

Y X

4.1.1. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта подматрица симметрична и содержит сильно адекватные суждения только типа (четыре центральных элемента), а также два слабо адекватных значения по главной диагонали. Остальные блоки пусты, так как являются недопустимыми для данного сочетания. Это следует учитывать при рассмотрении и конкретных примеров.

Y X

4.1.2. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В данном случае матрица универсума несимметрична, и содержит один частнопозитивный элемент , который определяет конъюнкцию частнопизитивного и сильно адекватного исходного суждения с общенегативным и сильно адекватным суждением типа . Остальные сильно адекватные результирующие суждения относятся к типу , а слабо адекватные имеют то же вид, что и в предыдущем случае, хотя относятся уже к сочетанию других по типу исходных суждений.

Y X

4.1.3. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Здесь наблюдается принципиально такая же картина, что и в предыдущем блоке, поэтому мы позволим себе подробно не останавливаться.

Y X

4.1.4. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта результирующая матрица содержит всего четыре допустимых сочетания, одно из которых является общепозитивным и слабо адекватным. Матрица в данном случае симметрична и содержит лишь один тип сильно адекватных суждений , который оказывается частнонегативным.

Y X

4.1.5. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В этой подматрице можно отметить наличие всех четырёх видов суждений, из которых частные оказываются сильно адекватными, а общие – слабо адекватными. Эта матрица, естественно, несимметрична, при этом следует заметить, что сильно адекватные результирующие значения возможны только для сочетаний сильно адекватных исходных суждений.

Y X

4.1.6. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В этой подматрице имеется всего четыре возможных сочетания, из которых три оказываются сильно адекватными, хотя частными. Единственное общепозитивное суждение является слабо адекватным.

Построенные шесть подматриц определяют результирующие допустимые значения для первого блока универсума изучаемой конъюнкции.

Аналогично изучаются и соединение в других блоках результирующей матрицы.

§ 4. Конструкции подматриц второго блока универсума.

Так как методика исследования подробно изложена в предыдущем параграфе, то мы позволим себе упускать комментарии к получаемым результатам. Второй блок результирующего универсума характеризуется сильной адекватностью негативных сложных суждений и слабой адекватностью позитивных суждений. Это следует учитывать при анализе конкретных случаев сочетаний исходных суждений. Мы продолжаем нумерацию соединений для изучаемой четвертой группы БОКТ.

Y X

4.1.7. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В данном сочетании количество сильно адекватных и слабо адекватных суждений одинаковое (по четыре), также одинаковым оказывается и число частных и общих суждений, причем сильно адекватные среди них могут быть только частными.

Y X

4.1.8. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Здесь наблюдается та же в принципе картина: позитивные суждения оказываются слабо адекватными, а три сильно адекватных значения являются частнонегативными. Данная матрица симметрией не обладает.

Y X

4.1.9. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта подматрица также не обладает симметрией, кроме того, содержит только частные суждения, среди которых позитивные оказываются слабо адекватными, а негативные – сильно адекватными. В общем, наличие такой особенности еще раз подчеркивает, что сама изучаемая группа имеет довольно слабую информационную насыщенность. Это естественно, так как в ее структуре присутствует явно избыточное число (10) частнонегативных суждений.

Y X

4.1.10. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Данная подматрица симметрична, она содержит одно сильно адекватное и общенегативное значение . При этом позитивные суждения присутствуют только как слабо адекватные.

Y X

4.1.11. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта подматрица несимметрична и в ней два частнонегативных и сильно адекватных суждения, а позитивные суждения оказываются слабо негативными.

Y X

4.1.12. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Построенная в этом случае подматрица содержит лишь два одинаковых и симметричных элемента типа .

§ 5. Конструкции подматриц третьего блока.

По уже применявшейся ранее методике проведем построение результирующих подматриц третьего блока универсума данной БОКТ.

Y X

4.1.13. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта подматрица вообще не содержит сильно адекватных суждений, но является несимметричной.

Y X

4.1.14. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

В этой подматрице существует всего одно сильно адекватное значение, которое является частнопозитивным, а остальные допустимые результаты только слабо адекватны, причем одно из них является общим.

.

Y X

4.1.15. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Данная подматрица также содержит единственный частнопозитивный сильно адекватный элемент, а остальные допустимые элементы являются негативными (из них один – общий) и слабо адекватными.

Y X

4.1.16. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта подматрица содержит только слабо адекватные и частнонегативные элементы и обладает симметрией.

Y X

4.1.17. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Построенная подматрица несимметрична и содержит только один сильно адекватный частнопозитивный элемент.

Y X

4.1.18. Выделены блоки

{, , }:

{, , , },

{ , , , },

{ , , , }.

Эта подматрица как бы дополняет подматрицу 4.12, так как у нее только три пустые клетки именно в тех местах, где расположены допустимые элементы указанной матрицы. Такая схема является универсальной, что позволяет применять ее для всех видов и групп бинарных операций с учетом их особенностей и параметров. Таким образом, нами проведен полный семантический анализ конъюнкции данной группы. Аналогично могут быть проведены исследования других бинарных операций.

Литература:

1. Евсеев В.И. О методике моделирования логических систем// Труды международной конференции «Информационные технологии в образовании и науке», Казань. 2014 (225 – 231).

2. Акбашев Р.А., Евсеев В.И. Моделирование аналитической семантики// Информационные технологии в системе социально-экономической безопасности России и ее регионов. Казань. 2009 (146 – 154)

3. Евсеев В.И. О системе семантических бинарных операций // Ученые записки ИСГЗ, №2 (10). Казань, 20012 (29 – 39).