Математика/Прикладная математика

Лико Т.І., Мельник П.В.

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Про предмет і задачі квантової логіки

Для повного розуміня поняття «квантова логіка» розглянемо уявний експеримент з проходженням електрону через одну та дві щілини екрану. Припустимо, що вословлювання А означає «електрон проходить через першу щілину», а висловлювання В означає «електрон проходить через другу щілину», висловлювання С - «електрон залишає на фотопластині екрану точковий слід». В такому випадку висловлювання (A ∨ B) ∧ C істинне у випадку, коли відкрита одна зі щілин.

Якщо відкриті обидві щілини, то ситуація, здавалось, повинна описуватись висловлюванням (A ∧ C)∨ (B ∧ C), тобто електрон проходить через першу щілину і залишає точковий слід або електрон проходить через другу щілину і залишає точковий слід. Згідно з законом дистрибутивності (A ∨ B) ∧ C ≡ (A ∧ C)∨ (B ∧ C) і тотожність справедлива в силу того, що обидві частини описують один і той же результат – точковий слід. Насправді ж на фотопластинці ми отримаємо дифракційну картину і порушення закону дистрибутивності.

Отож маємо, що в мікросвіті відбувається порушення законів класичної логіки. В цьому можsна переконатись завдяки математичному формалізму квантової механіки.

В теорії фон Неймана фізичну систему S (в якості якої може бути електрон з описаного експерименту) можна представити гільбертовим простором H(S). Кожну властивість системи відповідно можна представити замкнутим гільбертовим підпростором М_а гільбертового простору. Що це за властивості? Мається на увазі, що деяка досліджувана величина (наприклад, імпульс) має конкретне значення , або що її значення додатнє, або що значення двох одночасно виміряних величин відповідно і , або що різниця квадратів цих величин менша одиниці і т.д. Система може знаходитись в чистому стані, якому відповідає вектор в гільбертовому просторі. Тоді “так-ні”-вимір властивості , тобто наявність або відсутність властивості, можна представити відображенням, що проектує векто ортогонально в підпростір М_а. Це відображення вводить проекційний оператор Р_а, визначений на H(S) з областю значень М_а. Звідси кожна властивість системи можу бути представленна проекційним оператором Р_a.

У випадку, коли Р_a задовільняє співвідношенню = , еквівалентному , властивість підтверджується «так-ні»- експериментом. Якщо ж = 0, що рівносильно (де — ортогональне доповнення), то властивість заперечується. Здавалось, множина замкнутих підпосторів (що описують властивості системи) складає ортомодулярну гратку, для якої закон дистрибутивності не має місця. Якщо в система була класично, то замість такої недистрибутивної гратки повинна була бути булева алгебра.

Головний контраргумент проти отриманої картини відомий в квантовій механіці під іменем гіпотези про приховані параметри. Він зводиться до того, що подібний опис просто неповний і більш детальний розгляд повинен привести до відкриття додаткових можливостей опису, тобто до врахування нових, прихованих параметрів. Однак цього не відбувається. Більш того, в 1967р. Кохен і Шпеккер повністю розгромили таку гіпотезу. Вони довели неможливість погруження алгебри підпросторів гільбертового простору (розмірності 3 і більше) в повну булеву алгебру при умові збереження структурних співвідношень теорії.

Незважаючи на це, існує багато різних поглядів на дану проблему. Деякі науковці і фіолософи заперечують ідеї існування якоїсь іншої логіки, окрім класичної. Деяку негативну точку зору можна проілюструвати на прикладі Дж.Стейчела. За його словами висловлювання типу “імпульс електрону дорінює р” справді описується квантовою логікою, але їх деталізіція типу “імпульс електрона, який вилетів з даного прискорювача, виміряний даним приладом, дорівнює р” уже приводить до класичної логіки. Стейчел бачить тут парадокс, який є причиною сумнівів з приводу існування квантової логіки.

Показово, що дослідження взаємовідношень між класичною і квантовою логікою заперечує існування будь-яких парадоксів у різних представлення однієї і тієї ж системи. Важливими тут є роботи С.Берніні. Його задача полягала в побудові таких логіко-синтаксичних систем, які містять квантові логіки в сенсі еквівалентності наступних умов:

а) А → В є теоремою;

б) на будь-якій ортогратці, де — деяка оцінка.

Берніні побудував такі аксіоматичні системи К₁Q і К₂Q логіки першого порядку, {→, } - фрагмент яких являеться класичним. Характерна особливість цих систем — наявність в них алегебраїчних формул, тобто формул без імплікації. Саме вони і інтерпритуються в ортогратках по необіхідному сенсі.

Повертаючись тепер до Стейчела, легко зробити висновок, що алгебраїчні формули, які фігурують в системі Берніні і утворюють квантовологічну систему, можна розцінювати як квантовологічні висловлювання типу наведених Стейчелом — «електрон має імпульс р». Конструювання з алгебраїчних формул за допомогою зв’язки → складових формул приводить до висловлювань, що підлягають законам класичної логіки. Подібні висловлювання і будуть відповідати висловлюванням Стейчела, що особливо помітно, якщо перетворити останні в такий вид: «якщо даний прискорювач випускає електрон і якщо його імпульс вимірюється даним прибором, то величина імпульса рівна р». Отож, ми отримуємо класичні і квантові висловлювання в рамках одного числення, але ніяких суперечностей не виникає.

Велику проблему являє собою реконструкція такої логіки, алгебраїчна структура якої являє собою недистрибутивну ортомодулярну гратку, що відповідає множині підпросторів гільбертового простору. Факитично тут ми маємо справу з так званою оберненою задачею семантики, коли по наявній деякій готовій структурі потрібно відновити синтаксис та аксіоматику логічної системи, моделлю якої ця структура служить. Можна провести аналогію, наприклад, з представленням груп, коли по наявним представленням групи потрібно відновити їх абстрактну алгебраїчну структуру.

В логіці при побудові алгебраїчної семантики в загальному випадку можна здійснити взаємний перехід від числення висловлювань до алгебраїчної структури подій, які описуються цими висловлюваннями. Вважаючи тепер алгебру проекційних оператторів як алгебру висловлювань, можна, як виявилось, побудувати логічне числення, що має ортомодулярні гратки в якості своїх моделей. Цікаво, що подібні гратки (і, відповідно, логіки) в силу свого абстрактного характеру не обов’язково являються гратками (логіками) підпростору гільбертового простору, а й допускають інші інтерпритації, наприклад, операційні (Гольдблат).

Характерною складністю при побудові квантової логіки є проблема імплікації. Задовольняючого понятття імплікації в квантовій логіці отримати не вдається, загальноприняте трактування зводиться до прийняття в якості імплікації відношення гратки (в якості альтернативи можна вказати так завну стрілку Сасакі). Ця обставина приводить до надання первеваги секвенційним формулюванням, які не потребують наявності імплікації, і є основним пунктом критики квантової логіки.

Незважаючи на активні дослідження синтаксису і семантики квантової логіки, єдиного концептуального каркасу ще не створено. Це пов’язано в першу чергу з тим, що квантова логіка виникла на стику фізики, математики і логіки, і тому осмислення результатів квантологічного підходу часто ведеться з різних позицій, в силу чого дослідники не завжди знаходять спільну мову сходяться в думках відносно того чи іншого результату. Можна, однак, відмітити, що в свою чергу квантова логіка стимулює виникнення нових напрямків досліджень в фізиці, математиці та логіці.

Так, для фізики квантова логіка дає можливість вийти вперед як на шляху обгрунтування квантової механіки, граючи роль особливого евристичного прийомуа процедурі обгрунтування квантової теорії, так і на шляхупобудови нової мови квантової механіки. В свою чергу роробка подібної мови ставить перед математиками багато нових проблем, примушуючи їх інтенсивно розвивати нові розділи математики, наприклад, алгебраїчну теорію ортомодулярних граток.

Що стосується логіки, то суттєво некласичний характер квантової логіки і незвичність її семантичних моделей (гільбертові простори) говорять самі за себе. Виникає питання статусу: логіка вивчає правильні форми мислення, а чи вивчає квантова логіка особливі форми, форми правильного фізичного мислення? Відмова іід закону дистрибутивності дозволяє розцінювати квантову логіку як узагальненя булевого пропозиційного числення, а існування подібного узагальненя уже є проблемою. Наявність не одної, а багатьох квантових логік призводить до того, то квантова лоігка починють розглядати в вузькому сенсі — як пропозиційне числення, специфічне для тої чи іншої конкретної задачі квантової теорії. Аналіз і розширення існуючих систем квантових логік звичними логічними методами є без сумніву актуальними, оскільки подальші просування без наявності такого фундаменту є неможливими.

Література

1. Васюков В. Л. Квантовая логика. - М.: ПЕР СЕ, 2005. - 191с.