МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЛИЯНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ НА ТРАЕКТОРИЮ ДВИЖЕНИЯ ПОДВОДНОГО ПЛАНИРУЮЩЕГО ЗОНДА

 

Куликовский К.Л.

профессор кафедры “Информационно-измерительная техника”

Самарский государственный технический университет,

доктор технических наук,

Россия, г. Самара

 

Матвеев О.В.

аспирант кафедры “Информационно-измерительная техника”

Самарский государственный технический университет,

Россия, г. Самара

 

Уланов А.В.

аспирант кафедры “Информационно-измерительная техника”

Самарский государственный технический университет,

Россия, г. Самара

 

В статье рассматривается разработка математической модели взаимодействия подводного планирующего зонда (ППЗ) с подводным течением, на границе раздела двух подводных сред: подвижной и неподвижной. Математическая модель позволит определять угол отклонения ППЗ от заданной траектории и будет использована в информационно-измерительных и управляющих системах (ИИУС) для коррекции реальной траектории и движения.

 

Ключевые слова: подводный планирующий зонд, математическая модель траектории движения, метод измерения угла отклонения траектории, информационно-измерительная и управляющая система.

 

При исследовании океана в последние годы широко используются подводные планирующие зонды (ППЗ), которые за счёт изменения своей плавучести и положения центра тяжести совершают перемещения под водой, по траектории, близкой к синусоиде. Эти изменения происходят периодически и не требуют больших затрат энергии, что позволяет ППЗ перемещаться на большие расстояния, без всплытия на поверхность.

ППЗ являются носителями измерительной аппаратуры, тип которой зависит от поставленной цели, например: поиск тепловых потоков,  поиск планктонных полей, определение геохимических свойств океана, поиск полезных ископаемых, обнаружение археологических и затонувших объектов, обслуживание технологических объектов таких как, нефтепроводы, газопроводы, кабели связи и т.д.

Для любых исследований, при измерении требуемых параметров, необходимо точно знать координаты положения ППЗ в водной среде: глубину погружения (в вертикальной плоскости) и положения ППЗ в горизонтальной плоскости, так как точность определения местоположения ППЗ, в момент получения информации, не менее важна, чем точность самого результата измерения. 

Основным элементом ППЗ является ИИУС, в которой на основании математической модели его движения закладывается соответствующая программа, управляющая изменением положения центра тяжести и плавучести во времени. В результате этого, в любой момент времени с момента начала движения, можно определить местоположение ППЗ в водном пространстве.

В процессе движения на ППЗ могут воздействовать различные факторы, не учтённые при построении математической модели, изменяющие траекторию его движения, в частности по направлению. Среди таких факторов наиболее важное значение имеют подводные течения.

Поэтому большой интерес вызывает разработка моделей, позволяющих определять отклонения траектории движения ППЗ от заданной, под воздействием боковых течений, а также формировать корректирующие воздействия.

Для этой цели рассмотрим случай, когда ППЗ входит в поток под прямым углом.

При входе ППЗ в поток на него начинает воздействовать сила, смещающая ППЗ относительно заданной траектории в сторону по направлению движения потока (рис. 1):

 

 

 

 

Fв = Pд

Fп

O1

Vв

O

O2

 
 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 1 Силы, действующие на ППЗ, при его вхождении в водный поток под прямым углом

Где OO1 – заданное направление движение ППЗ (вхождение в поток под углом 90º), OO2 – смещённое направление движение ППЗ относительно начального направления движения, под воздействием на него водного потока, Vв – скорость водного потока, Fв – сила воздействия водного потока на часть ППЗ, находящуюся в водном потоке, Pд – динамическое давление водного потока, Fп – сила противодействия, создаваемая частью ППЗ, находящегося в неподвижной среде.

Для построения математической модели за основу возьмём равенство моментов:

Mв = Mп                                               (1)

Где: Мв – момент, создаваемый водным потоком, Мп – момент противодействия.

Сила, создаваемая водным потоком, смещает ППЗ относительно заданной траектории на угол . Поток воздействует не на всю площадь ППЗ, находящуюся в потоке, а лишь на её проекцию, по отношению к оси движения ППЗ.

Представим выражение (1) в следующем виде:

Fв× ∆Sп = Fп × (S - ∆S)                                   (2)

Где:  S – площадь ППЗ, ∆S – площадь ППЗ, находящаяся в потоке, ∆Sп – проекция площади ППЗ, находящаяся в потоке.

Рассмотрим по отдельности обе части соотношения (2):

Момент Mв возникает под воздействием потока воды, и пропорционален силе воздействия водного потока и площади ППЗ, на которую воздействует этот поток.

Так как Fв зависит от скорости водного потока, то её можно представить в виде кинетической энергии водного потока:

Mв = Fв × ∆Sп =  × ∆Sп                               (3)    

Где:    - плотность воды, Vв – скорость водного потока.

Проекцию площади ППЗ, находящуюся в потоке можно представить в виде:

∆Sп = ∆S × cos                                                  (4)

Где:    - угол смещения ППЗ под воздействием водного потока.

Чем больше ППЗ отклоняется от заданной траектории движения, тем на меньшую площадь воздействует поток. Чем больше угол отклонения ППЗ, тем на меньшую площадь воздействует поток.

С учётом (4) запишем выражение (3) в виде:

 × ∆Sп =  × ∆S × cos                       (5)

Противодействующий момент определяется в виде:

Mп = Fп  × (S - ∆S)                                           (6)

Где:  (S - ∆S) - это площадь ППЗ находящаяся в неподвижной водной среде.

Силу противодействия (Fп) запишем в виде:

Fп = mо × υ                                                  (7)

Где:  mо – общая масса, равная сумме массы ППЗ и присоединённой массы воды, υ – скорость ППЗ.

Выражение (7) справедливо для статического режима, при малой длине ППЗ и достаточно высокой скорости в направлении его передвижения.  В динамическом режиме эта сила будет уменьшаться с увеличением момента инерции.

Выражение для скорости ППЗ имеет вид:

υ = ω × r =  × r                                          (8)

Где: ω – угловая скорость поворота вокруг оси, совпадающей по направлению с заданной траекторией движения ППЗ; r = l – радиус поворота ППЗ, равный длине l части корпуса ППЗ, находящейся в потоке.

Тогда выражение для скорости запишется в виде:

υ = ω × r =  × r =  × l                                             (9)

Общую массу представим в виде:

mо = mз + λ                                                  (10)

Где: mз  – масса ППЗ, λ – присоединённая масса воды (величина, имеющая размерность массы, которая прибавляется к массе тела, движущегося неравномерно в жидкой среде, для учёта воздействия среды на это тело [1]).

λ = k × в × Vво                                             (11)     

Где:  k – коэффициент формы присоединённой массы, Vво – вытесненный объём жидкости ППЗ (объём ППЗ), в – плотность воды.

                                           (12)

Где:  – половина ширины ППЗ, h – высота части корпуса ППЗ, находящаяся в потоке.

После преобразований соотношение (6) принимает вид:

Mп = Fп × (S - ∆S) = (mз + λ) × ω × l × (S - ∆S) =  

= (mз + k ×  × Vво) × l ×  × (S - ∆S)                         (13)

С учётом соотношений (5) и (13) выражение (2) принимает вид:

 × ∆S × cos   = (mз + k ×  × Vво) × l ×  × (S - ∆S)       (14)

Преобразователи давления, установленные на ППЗ, измеряют динамическое давление Pд [2]. Кинетическая энергия водного потока пропорциональна динамическому давлению воздействующему на ∆Sп, поэтому справедливо следующее выражение:

Pд =   × cos                                                 (15)

С учётом (15), выражение (14) примет вид:

Pд × ∆S = (mл  + k × × Vво) × l ×  × (S - ∆S)             (16)

Так как форма ППЗ может быть представлена в виде эллипсоида вращения, то площадь ППЗ находящаяся в потоке, будет определяться по формуле:

∆S = l × h ×π                                              (17)

Где: h  – высота части корпуса ППЗ, находящаяся в потоке, l – длина части корпуса ППЗ, находящаяся в потоке.

Далее подставив выражение (17) в (16) получим:

     (18)

Преобразовав (18), получим:

                      (19)

 

Длина части корпуса ППЗ, находящаяся в данный момент в потоке, соответствует расстоянию, пройденному ППЗ за время нахождения в потоке:

  l = υ ×                                                    (20)

Подставляя (20) в (19), выражение для угла смещения примет вид:

                  (21)

 

Зная форму ППЗ, мы можем определять высоту ППЗ h, находящуюся в потоке воды на основании её зависимости от длины ППЗ l.

Так как ППЗ имеет форму, приближающуюся к эллипсоиду вращения, то высоту h можно определить на основании длины l части корпуса ППЗ, находящейся в потоке:

                                            (22)

Подставив h в выражение для угла, получим:

 

              (23)

На основании полученного выражения, зная габаритные размеры ППЗ, его скорость и измеряя давление водного потока датчиками, расположенными на корпусе ППЗ, в каждый момент времени можно определить угол смещения ППЗ относительно направления заданной траектории. На основании полученных данных можно сформировать корректирующие воздействия, позволяющие вернуть ППЗ на исходную траекторию.

 

Список литературы

1.                 Дегтярь  В.Г., Пегов  В.И., Гидродинамика подводного старта ракет, Машиностроение. – 2009. – С. 209-213.

2.                 Куликовский К.Л., Матвеев О.В., Долгов Ф.Н. Метод измерения угла отклонения траектории движения подводного планирующего зонда от заданной в зоне действия боковых течений [Текст] // Теоретические и прикладные аспекты современной науки: сборник научных трудов по материалам VI Международной научно-практической конференции / Под общ. ред. М. Г. Петровой. Белгород. – 2014. – Часть III. - С. 66-69.