Бопаев К.Б., Бопаева С.К.

Жетысуский государственный университет им. И. Жансугурова

Исследование устойчивости дискретно-динамических систем (РДС) с параметром при наличии резонанса

Рассматриваются РДС, непрерывно зависящие от параметра. В случае, когда в рассматриваемой области значений параметра характеристические уравнения системы первого приближения имеют m-пар комплексно-сопряженных корней по модулю равных единице.

При изменении параметра вблизи резонансного значении , при котором система обладает внутренним резонансом, возможны различные изменения свойства устойчивости. Ставится задача о сильной устойчивости, когда характер устойчивости системы в точке сохраняется в некоторой окрестности этой точки.

Для резонанса нечетного порядка получены условия сильно асимптотической устойчивости и неустойчивости.

1. Основное определение и постановка задачи. Рассмотрим автономную РДС

(1)

где , А – квадратная матрица размера , непрерывно зависящая от - аналитическая вектор-функция, представимая в виде

где - форма k – порядка с непрерывным в G. Будем говорить, что РДС (1) устойчива (неустойчива) в точке , если тривиальное решение (1) при устойчиво (неустойчиво) по Ляпунову [1].

Определение 1. РДС (1) устойчива (неустойчива) в точке , называется сильно устойчивой (неустойчивой) в этой чтоке, если существует такая -окрестность точки , что система (1) устойчива (неустойчива) в каждой точке . Предполагается, что РДС (1) такова, что в области G матрица имеет m непрерывных по комплексных собственных чисел.

,

и приводима в G к непрерывной по диагональной матрице [2]. Через обозначим множество m-мерных векторов, компоненты которых – целые неотрицательные числа. Если то,

Определение 2. Говорят, что РДС (1) в точке обладает внутренним резонансом L-го порядка, если существует вектор - взаимно простые такие, что при

(2)

В предлагаемой работе рассматриваемая задача связана с изучением влияния малой вариации значений параметра на свойство устойчивости РДС (1).

Как известно из [3, 4, 5, 6, 7], эффективным методом исследования устойчивости системы (1) при фиксированных значениях параметра (как резонансных, так и нерезонансных) служит предварительное преобразование ее к нормальной форме до нужного порядка. Когда нерезонансная, то в ее малой окрестности нормализация будет непрерывной по . Это означает, что характер устойчивости системы сохраняется в окрестности .

Если значение резонансное, то структура нормальной формы меняется при прохождении параметра через . Поэтому для рассматриваемого класса систем наибольший интерес представляет задача о сильной устойчивости в окрестности . В этом случае возникает вопрос о существовании для системы (1) непрерывной по нормальной формы.

2. Непрерывная по параметру нормальная форма. При предположениях, сделанных в п.1., РДС (1) можно записать в виде

(3)

. Здесь , черта сверху означает комплексную сопряженность.

Компоненты m-мерных вектор-форм представим в виде

функции и непрерывная в G.

Нашей целью является преобразование РДС (3) к специальной простой (нормальной) форме, впервые предложенной в [4] для систем без параметра.

Для непрерывных РДС подобные преобразования применялись многими авторами, обзор работ, которых содержится в [8] Применим к (3) обратимую замену переменных:

(4)

В результате РДС (3) перейдет в систему:

(5)

(где - означает суперпозицию), Особый интерес для нас представляет случай, когда правую часть (5) можно представить в виде:

(6)

где имеет структуру, аналогичную f в (3).

Лемма 1. Если в окрестности где имеет место:

(7)

Тогда правая часть (5) представима в виде (6), где

(8)

Доказательство: Поскольку для выполняется условие (7), то имеет место разложение:

используя его, получим соотношения

откуда следует (8).

Лемма доказана. Таким образом, при выполнении условий леммы 1, рассматриваемое преобразование (4) является обратимым и связывает решения системы (3) и (5).

Рассмотрим условия, при которых преобразованное уравнение линейно, т.е. в (6)

(9)

Из структуры следует, что тождество (9) выполняется тогда и только тогда, когда разрешимо функциональное уравнение типа Шредера [9]:

(10)

для . Как известно, разрешимость уравнений (10) зависит от структуры матрицы .

Положим:

Тогда после последовательного проведения серии замен переменных:

т.е.

(11)

где

РДС (3) можно привести к виду:

(12)

(где - вектор формы - порядка в ).

Определим структуру в зависимости от .

Применяя к (3) преобразования для нахождения - получим

(13)

где . Эквивалентному функциональному уравнению Шредера (13), уравнение для коэффициентов имеет вид:

(14)

Определение 3. Бивекторы и соответствующие им коэффициенты уравнений РДС (3) и преобразований называются резонансными, если существуют такие , что

(*)

Множество всех резонансных бивекторов -го уравнения обозначим через . Для бивекторов при всегда имеем и они образуют множество , которое определяет члены тождественного резонанса [5]. Обозначим . Из (13) с учетом (14) имеет место:

Лемма 2 (о разрешимости уравнения Шредера). Пусть в (14) непрерывны в G. Тогда уравнение (13) разрешимо относительно форм если . А при (13) вообще говоря неразрешимо.

Это означает, что по отношению к преобразованные резонансные члены -го порядка правой части РДС (3) являются инвариантными, т.е. справедливо:

Теорема 1 (о нормализации). При любом значении непрерывных по нерезонансных коэффициентов в системе (3) могут быть подобраны в ней непрерывные резонансы коэффициенты такие, что будет существовать непрерывное в преобразование, переводящее в систему (3) в нормальную форму. Непрерывная нормальная форма будет получена, если положить в (3) все нерезонансные коэффициенты равными нулю, т.е. имеет следующую структуру:

(15)

Пусть точка и порядок единственного младшего резонанса равен , причем - изолированный корень сравнений (*). В качестве области G возьмем столь малую окрестность точки , что в проколотой окрестности нет резонансов порядка .

При этих условиях младшие резонансные члены в будут иметь порядок [10], поэтому структуры обычной и нормальных форм будут совпадать до чле6нов . И если решение задачи устойчивости в G не зависит от членов порядка выше , то наличие в точке внутреннего резонанса не влияет на решение задачи о сильной устойчивости, связанных с наличием в системе резонанса порядка будем считать, что в (15) .

При сделанных предположениях, ограничиваясь приведением к непрерывной нормальной форме до членов -го порядка включительно, получим следующую систему

(16)

где - непрерывны в G.

РДС (16) при совпадает с РДС, изучавшейся в [3] , и получается из (15) с помощью соображений о структуре младших резонансных членов, аналогичных в [7].

3. Исследование устойчивости модельной (укороченной) системы:

Рассмотрим модельную РДС

(17)

. Введем в рассмотрение - матрицу

(18)

и определители:

(19)

Отождествим углы с точками единичной окружности и введем разбиение всех модельных систем на непересекающиеся классы A, B, C, D с последующими геометрическими признаками:

A: Точки не сливаются в одну и существует диаметр круга такой, что все точки расположены строго по одну сторону от него, не совпадая с концами диаметра при .

B: Существует только такой диаметр круга, что часть точек совпадает с концами диаметра, а остальные лежат по одну сторону от диаметра для (заметим, что на обоих концах диаметра должны быть точки , иначе это случай A).

C: Все точки расположены на концах некоторого диаметра круга (для ).

D: Для любого диаметра кргуа существуют точки , лежащие по разные стороны от него (для ).

: Все точки совпадают.

: На обоих концах диаметра имеются точки .

: Существует тройка точек таких, что треугольник остроугольный.

: Любая тройка различных точек образует прямоугольный треугольник. В случае D подслучай фактически означает, что все концентрируется на окружности в четырех точках, являющихся концами двух взаимно перпендикулярных диаметров. Добавление любой отличной от них точки переводит случай в , так как образуется остроугольный треугольник. Случай возможен при . Если , то отнесем этот случай . При возможен либо случай , либо случай C. Если при некотором , по , то угол не определен. В указанной классификации участвует столько точек , сколько отлично от нуля коэффициентов . Если некоторые , то -ое уравнение (17) имеет вид и . Вводя эти значения в остальные уравнения системы (17) получим систему того же вида, с теми же значениями . Что и в сходной по меньшей размерности. Это позволяет при исследовании системы (17) считать, что все . При исследовании полной системы от этого предположения откажемся. Возвращаясь к введенной классификации нетрудно видеть, что существует такая нумерация компоненты в системе (17), что условия можно переписать в виде:

а)

б)

. Считаем указанную нумерацию выполненной. Дополним проведенную геометрическую классификацию алгебраической характеристикой случаев и .

Лемма 4. Условия эквивалентны следующим условиям:

а) б)

а)

а) ,

б) или .

Доказательство: докажем эквивалентность условий и . Для этого нужно показать, что и .

1. . Так как , то . Из (19) тогда следует, что или , учитывая, что из с (18) получаем, что .

2. равенства позволяет с помощью (19) сделать вывод, что . Из (18) следует, что .

Таким образом, . Аналогичным образом доказывается, что . Докажем теперь, что .

3. . При выполнении существует остроугольный треугольник образованный тройкой точек на единичной тригонометрической окружности. Каждому треугольнику можно поставить в соответствие достаточно определенную упорядоченную тройку чисел – «схему знаков».

где - длина дуги круга, соответствующая движению точки к точке против часовой стрелки (так как ) составим «схему знаков» для остроугольного треугольника. Проведем через вершину диаметр круга . Так как треугольник остроугольный, то точки и лежат по разные стороны от диаметра, тогда будем иметь:

а) либо и тогда

б) либо и тогда

Проведем теперь диаметр и с учетом что и лежат по разные стороны от . Если справедливо а) то и тогда . Следовательно, в случае а) «схему знаков» имеет вид (++-). Если справедливо б) то и «схему знаков» (-+). В общих случаях «схему знаков» гарантирует выполнение , что легко устанвоить с помощью (19).

4. . Если выполняется , то треугольник имеет «схему знаков» (++-) или (--+) отсюда следует, что треугльник остроугольный, так как предположение о том, что он тупоугльный, дает «схему знаков», отличную от указанных. Остается заметить, что свойство и «схему знаков» остроугольного треугольника не изменяется при изменении нумерации чисел и связанных с ним определителей. и точек это проверяется непосредственно.

Таким образом, из 3) и 4) следует, что . Лемма доказана.

Как следует из [3] при в большинстве случаев РДС (17) обладает семейством решения вида:

(20)

Необходимым и достаточным условием устойчивости систем (17) при служит наличие среди (20) знакоопределенных. В случае неустойчивости всех решений (20) знакоперемены. Лишь при в случае РДС неустойчива и не имеет решений вида (20). Для существования среди (20) знакоопределенных решений необходимо и достаточно выполнение условия и . В неустойчивом случае среди (20) имеются знакопостоянные решения.

Рассмотрим матрицу M. Из равенства следует, что при выполнении условий имеем , в остальных случаях .

Теорема 1. Если в области G матрица C сохраняет ранг и число отличных от нуля компонент векторов

или

превосходит ранг матрицы M, то система (17) имеет семейство непрерывных решений:

(21)

Для того чтобы среди них имелись, знакоопределенные в G, необходимо и достаточно выполнение условий или .

Доказательство: Прежде всего, можно убедиться, что предположения о ранге матрицы выполняется, если выполнены условия . При выполнении условий из этого предположения следует выполнение условий , поскольку возможный переход случаев в при связан с изменением ранга матрицы M. Вычислим первую разность в силу (17):

Если , то будем называть решением (17). Разыскивая решение (17) в виде (21), получим, что параметры должны удовлетворят системе уравнения.

(22)

имеющей ненулевые решения, если . В связи с этим отметив, что в случае C и подслучае , в остальных случаях . Обозначим через векторы в которых отсутствуют компоненты с индексами . Обще решение (22) можно записать в виде:

(23)

где выбраны так, что выполнены условия в скобках, компонента вектора свободные параметры решения. Если выполняются условия , то существуют такие , для которых в точке справедливо соотношение сохраняющиеся и в области G. Из (23) непосредственно следует, что положительные решения у (22) существует только при выполнении условия значения свободных параметров, дающих строго положительные решения системы должны удовлетворять условиям

(24)

При выполнении соотношения нарушаются при любом выборе и среди решения (22) нет строго положительных, а среди (21) знакопеременных (при выполнении все (21) знакопеременные). Пусть теперь . Считая для определенности в место системы (21) рассмотрим уравнение

(25)

Если выполняется условия , то хотя бы для одной пары коэффициентов в точке выполняется равенство

(26)

сохраняющиеся в G. Общее решение системы (25) при условии (26) имеет вид

(27)

Выбирая согласно условию

Получим строго положительное решение уравнения (21). При выполнении условия , условия (26) нарушается для и (25) положительного решения не имеет. Тем самым теорема доказана.

4. Сильная устойчивость. Бифуркация.

Наряду с системой (16) будем рассматривать также РДС

(28)

РДС (28) получается при обычной нормализации РДС (3) в области , эквивалентную системе (3) в области . Как следует из п. 2 коэффициенты в системах (15) и (28) при совпадают. Существенно отметить, что если в (16) нелинейности непрерывны в G, то в системе (28) при за счет коэффициента при членах порядка . При . Этим свойством обладают уже коэффициенты в связи с чем (28) будет семейством вида (21). Вычисляя первой разности функции в силу РДС (15) и учитывая, что - решение РДС (17) будет иметь

(29)

Если форма -го порядка в конусе знакоопределенная, то при достаточно малой окрестности т.е. в будет знакоопределенной. Обозначим через множества тех векторов , для которых форма определенно-отрицательна (ясно, что может быть и ). Обозначим еще через множество решения системы (22) при , а через множество положительных решений заметим, что при выполнении условий и .

Теорема 2. пусть система (16) такова, что 1) при сохраняется. 2) . Система (16) сильно асимптотически устойчива в точке , если а) выполняются условия или и . Система (16) сильно неустойчива в точке , если б) выполняется одно из условий или и .

Доказательство: Справедливость теоремы вытекает из теоремы 1 и теорем второго метода Ляпунова [1] рассмотрим, например, случай а). Из условия 2) следует, что существует вектор , такой, что форма определенно отрицательное условие а) гарантирует существование в семействе (21) знакоопределенного решения РДС (17), первая разность которого в силу (16) определенно-отрицательная (что определяется формой ). Условие 1) и теорема 1 позволяют утверждать существование непрерывной по функции Ляпунова удовлетворяющей в каждой точке области G условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Аналогично рассматривается случай б), в котором используется знакопеременное решение системы (17). Теорема доказана.

Литература:

[1] Бромберг П.В. Устойчивость и автоколебания теории релейно-импульсного регулирования. Оборниз. М. 1953 г.

[2] Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметра. УМН. 19714. Т26. вып. 2.

[3] Гольцер Я.М. об устойчивости нейтральной неподвижной точки автономных отображений при резонансе. ДУ. 1979 г. т. 15, № 12.

[4] Бопаев К.Б. Нормализация систем нелинейных разностных уравнений. Препринт № 1. Алматы-Новосибирск, 1995 г.

[5] Бопаев К.Б. Устойчивость решения системы нелинейных разностных уравнений в одном критическом случае. Препринт № 2. Алматы. Новосибирск, 1995 г.

[6] Бопаев К.Б. Устойчивость дискретных систем в критическом случае. ДРАН, 1996 г. том 349, № 4.

[7] Бопаев К.Б. Устойчивость систем разностных уравнений в критическом случае при наличии резонанса и в случаях, близких к критическим. Препринт № 3, Алматы-Новосибирск. 1995 г.

[8] Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М., 1979 г.

[9] Бопаев К.Б. Нысамбаев Ж.Н. о структуре разностных уравнений. Сбор.науч. статей Талдыкорганского научного центра ИА РК. Препринт № 14. 1995 г.

[10] Schroder E. Math. Ann. 1871. v. 3.