Технические науки

Сурьянинов Н.Г.

Одесский национальный политехнический университет, Украина

К расчету пластин, подкрепленных ребрами жесткости,

методом граничных элементов

Дифференциальное уравнение изгиба ребристой пластинки имеет вид

                                                                         (1)

где  — прогиб пластинки;  — свободный член уравнения, учитывающий не только внешние нагрузки, но и наличие подкрепляющих ребер в продольном направлении, под которым будем понимать направление, параллельное оси y (рисунок 1).

Рисунок 1 — пластинка с ребром в продольном направлении

Наиболее общий вид  имеет в том случае, когда подкрепляющие ребра будут как сплошного сечения, так и тонкостенного:

                                       (2)

где    — жесткости ребер при изгибе и кручении;

— координата расположения i-го ребра (рисунок 1).

Применим для (1) метод Канторовича-Власова, т.е. прогиб срединной плоскости пластинки будем искать в виде

                               (3)

Усечем ряд (3) до одного члена и возьмем вариацию прогиба только по направлению y, что равносильно принятию расчетной схемы пластины, имеющей бесконечное число степеней свободы в одном направлении и одну степень свободы в другом направлении. Тогда прогиб точки срединной плоскости пластины будет

                                                                                                      (4)

Функцию поперечного распределения прогибов пластины  нужно выбирать так, чтобы она максимально точно описывала форму изогнутой поверхности пластины в направлении оси х. Этому требованию в полной мере удовлетворяют кривые прогиба балки, имеющей такие же условия опирания, как и пластина, в направлении оси х.

В результате получим задачу Коши одномерной модели изгиба прямоугольной пластины, подкрепленной продольными ребрами:

                                                            (5)

при начальных условиях

            

;                                                         (6)

где

                                     (7)

                                                        (8)

                                                                               (9)

                               (10)

Дифференциальное уравнение (5) по своей структуре аналогично уравнению, описывающему изгиб пластин без подкреплений, однако вид (7)-(9) свидетельствует о том, что в (5) учтены параметры ребер. Применительно к реализации алгоритма метода граничных элементов это означает, что параметры ребер будут учтены и в выражениях фундаментальных функций.

Решение задачи Коши (5)-(6) можно представить в соответствии с алгоритмом метода граничных элементов:

=

 

   (11)

 

Таким образом, при использовании метода Канторовича-Власова решение основного дифференциального уравнения задачи сводится к определению прогиба (4), где функция  задана, а  определяется из (11) в виде

                     (12)

Решение уравнения (5) зависит от корней соответствующего ему характеристического уравнения, которые представляются выражением

                                                                                                     (13)

Вид фундаментальных функций определяется соотношением между r и s, которое зависит от граничных условий на продольных кромках пластины. При этом здесь возможны шесть случаев.

Рассмотрим вариант, когда , при этом

где   

Прогиб  запишется в виде

                                                            (14)

где  — гиперболо-тригонометрические функции:

                                                                                         (15)

Фундаментальные функции задачи, получение которых аналогично описанному в [1, 2], предстанут в форме:

                                                                      (16)

             (17)

 

Литература:

1. В.А. Баженов, А.Ф. Дащенко, Л.В. Коломиец, В.Ф. Оробей, Н.Г. Сурьянинов / Численные методы в механике. — Одесса, «СТАНДАРТЪ», 2005. — 563 с.

2. Оробей В. Ф., Работягов Д. Д. Расчет пластин на изгиб одномерным вариантом метода граничных интегральных уравнений // Изв. вузов. Строительство. — 1993. — № 1. — С. 20-27.