Математика / 1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Кульжумиева А.А., Сартабанов Ж.А.

Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова, Казахстан

Периодические по многомерному времени решения линейных систем -уравнений

 

1. Постановка задачи. Рассмотрим оператор дифференцирования  по многомерному времени  в направлении постоянного вектора . Следовательно, имеем , где , . В дальнейшем положим , , . Вектор-функцию  назовем характеристикой оператора .

Теперь введем в рассмотрение систему квазилинейных дифференциальных уравнений вида

,                                                   (1)

где .

Вектор-функция  задана для  и обладает свойством периодичности по  с периодом , по , следовательно и по  с вектор-периодом , непрерывности по всем аргументам и непрерывной дифференцируемости по , , . Следовательно, имеем

,       (2)

где  – множество целочисленных векторов ,  – кратный вектор-период, а  – положительно определенная -периодическая и непрерывно дифференцируемая функция

,

причем ,  – положительные рационально несоизмеримые постоянные.

При этих условиях ставится задача о существовании -периодических по  решений системы (1).

Заметим [1], что для достижения этой цели нам достаточно ограничиться решениями системы (1), удовлетворяющими начальным условиям вида

,                                                     (10)

где  – пространство непрерывно дифференцируемых -периодических -вектор-функций с нормой  при :

.

Здесь  – знак евклидовой метрики.

Под интегралом функции  вдоль характеристики ,  оператора  от точки  до точки  пространства многомерного времени  понимаем соотношение , где  – интеграл функции  по параметру  [2]. В частности, решение  задачи (1)-(10) определяется интегральным уравнением

,                            (3)

где .

Теперь основную задачу исследуем для линейного случая.

2. Периодические по многомерному времени решения линейных систем. Рассмотрим линейную систему

                                            (4)

с -матрицей  непрерывно дифференцируемой и -периодично определенной на характеристике . Следовательно,

,                           (5)

причем собственные значения  матрицы  при любых значениях  не принимают значения равные :

.                                                (6)

При предположениях (5) и (6) матрицант  однородной системы

                                                         (7)

обладает свойствами

,

причем матрица монодромии  не имеет единичного мультипликатора  при любых . Следовательно, в силу обратимости матрицы  и представления решения  системы (7) с начальным условием (10) в виде

,                                                   (8)

она не имеет -периодического по  решения, кроме тривиального.

Тогда легко показать, что линейная система (4) с вектор-функцией

,                (9)

имеет единственное -периодическое по  решение , представимое в виде

.            (10)

Полученный результат сформулируем в виде следующего утверждения.

Теорема. Пусть выполнены условия (5), (6) и (9). Тогда неоднородная система дифференциальных уравнений (4) с многомерным временем имеет единственное -периодическое решение , представимое в виде (10).

Единственность периодического решения системы (4) доказывается отсутствием ненулевого периодического решения однородной системы (7).

Данное исследование является продолжением исследований, предложенных в [3-5].

Литература:

1.     Сартабанов Ж.А. Условия периодичности решений дифференциальных систем с многомерным временем // Известия НАН РК Сер. физ.–мат., 2004, №3. С. 44-48.

2.     Сартабанов Ж.А., Кульжумиева А.А., Калыбаева Д.Т. Об интеграле функции многомерного времени // Вестник АГУ, 2004, №4. С. 3-7.

3.     Кульжумиева А.А., Сартабанов Ж.А. Многопериодические решения систем дифференциальных уравнений с многомерным временем и переменным периодом // Тез. докл. Междунар.  матем. конф. «Еругинские чтения – Х». 24-26 мая 2005. – Могилев. С. 71-72.

4.     Kulzhumiyeva A., Sartabanov Zh. On periodic solutions of the nonlinear system of the differential equations with multivariate time and variable period // International Scientific Conf. «Mathematical analysis, differential equations and their applications». September 18-23, 2006. – Uzhgorod. P. 159-160.

5.     Кульжумиева А.А., Сартабанов Ж.А. Голоморфность периодических колебаний в нелинейной системе многомерного времени с переменным периодом относительно малого параметра // Матерiали III Мiжнародної науково-практичної конф. «Науковий потенцiал свiту – 2006». 18-29 вересня 2006 року. Т.1. – Днiпропетровск. С. 5-8