Д.ф.м.н. Кремлев А.Г., Гребенникова И.В.

Уральский государственный университет, Россия

Об асимптотике ансамбля траекторий управляемой сингулярно возмущенной системы с запаздыванием

Построение эффективных управляющих процедур для реальных систем обусловлено точностью используемых математических моделей. Детализация описания динамики управляемого процесса приводит к сложным структурам (часто нелинейным), включающим различные особенности. Это может определяться наличием нескольких взаимосвязанных подпроцессов с существенно различными временными масштабами, и удобный способ формализации в этом случае – введение сингулярных возмущений. Зависимость текущей скорости изменения выходных переменных системы от их значений в предшествующие моменты времени приводит к моделям, которые описываются дифференциальными уравнениями с последействием. Указанные особенности в значительной мере затрудняют использование известных результатов теории оптимального управления, практическую реализацию употребляемых методов и схем решения. Поэтому важным представляется качественное исследование асимптотических свойств управляемой сингулярно возмущенных систем (ансамблей траекторий, множеств достижимости), разработка на их основе аналитических способов представления (построения) решений.

§1. В данной работе рассматриваются динамические объекты, математическими моделями которых являются сингулярно возмущенные системы (с малым параметром m >0 при части производных) с запаздыванием h>0 (по состоянию) следующего вида:

(1.1)

где , – матрицы соответствующих размеров с непрерывными элементами. Начальное состояние системы x(t)=y(t), t₀-h£t<t₀, x(t₀)=x₀, y(t₀)=y₀ точно неизвестно и заданы лишь ограничения x₀ÎX₀, y₀ÎY₀, где X₀, Y₀ – выпуклые компакты в соответствующих пространствах, y(t)ÎY(t), tÎT, Y(t) – заданное многозначное отображение со значениями в виде выпуклых компактов (в Rⁿ), непрерывное по t в метрике Хаусдорфа. Реализации u(t), tÎT – измеримые по Лебегу функции, удовлетворяющие условию , P – слабо компактное выпуклое множество в

Предположение 1. Собственные значения l_s(t) матрицы A₂₂(t) удовлетворяют неравенству: Re l_s(t)<-2c<0 при tÎT, c=const>0.

Тогда при достаточно малых m (0<m£m₀) фундаментальная матрица решений Y[t,t] системы , Y[t,t]=E_m, E_m – единичная матрица mm

при t₀£t£t£t₁ имеет оценку

(1.2)

с₀>0 – некоторая постоянная,  – евклидова норма.

Рассмотрим вырожденную систему, полученную из (1.1) при μ=0:

(1.3)

(1.4)

где tÎT, .

Пусть Z[t,t] и X[t,t] есть фундаментальные матрицы решений соответственно систем (1.1) и (1.3), (при uº0), причем X[t,t]=E_n, X[t,t]=0 при t>t.

Z[t,t] представим в следующем блочном виде Z[t,t]=E_n+m

,

здесь Z₁₁[t,t], Z₁₂[t,t], Z₂₁[t,t], Z₂₂[t,t] – матрицы с размерами соответственно nn, nm, mn, mm.

Применяя формулу Коши для каждого блока матрицы Z[t,t], получим следующее утверждение.

Лемма 1.1. Матрицы Z_ij[t,t], i,j=1,2, t₀£t£t£t₁, удовлетворяют уравнениям:

(1.5)

(1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) преобразуются к виду:

(1.7)

здесь матрица определяется формулой

Теорема 1. Существуют такие достаточно малое число m₀>0 и постоянная N>0, что в области 0<m£m₀, t₀£t£t£t₁ выполняются оценки:

(1.8)

Доказательство. Пользуясь методом последовательных приближений Пикара, решение (1.7) можно представить как предел равномерно сходящейся на отрезке [t₀,t₁] последовательности (при 0<m£m₀, m₀ достаточно мало):

k=0,1,2,…;

В силу ограниченности X[t,t], с учетом оценки (1.2), при t₀£t£t£t₁, 0<m£m₀ справедливы неравенства:

где N₀>0, N₁>0 – некоторые постоянные. Отсюда непосредственно следует (при соответствующем выборе N) оценка для Z₁₁[t,t] в (1.8). Аналогично получаются остальные неравенства, причем в области 0<m£m₀, t₀£t£t£t₁ имеем:

k=0,1,2,…

Таким образом, получаем рекуррентные формулы для вычисления Z_ij[t,t], определяющие асимптотику фундаментальной матрицы:

k=0,1,2,…;

причем

Лемма 1.2. При 0<m£m₀, m₀ достаточно мало, для любых tÎT, t₀£t£t-a(m), справедливы представления:

где при

§2. Введем следующие обозначения: t₀£t£t₁ – множество (ансамбль) траекторий системы (1.1), исходящих из Z₀, при фиксированном .

Запишем систему (1.1) в виде

(2.1)

Применяя формулу Коши, выпишем решение (2.1) для t₀£t£t₁ при некоторых , причем при t₀-h£t<t₀:

Представим в виде

Пусть P={u(×) | u(t)ÎP(t), tÎT}, где P(t) – заданное многозначное отображение со значениями в виде выпуклых компактов (в R^r), непрерывное по t в метрике Хаусдорфа.

Лемма 2.1. При 0<m£m₀, m₀ достаточно мало, для любых , справедливы асимптотические представления:

при t₀£t£t₁;

при t₀+h+a(m)£t£t₁.

Обозначим: , соответствующие проекции множества на пространства переменных или ; , аналогичные проекции множества .

Лемма 2.2. Существует m₀ >0, что при 0<m£m₀, , справедливы представления  – опорная функция множества X на элементе:

(i) равномерно по , ;

(ii) равномерно по , ;

Пусть и  – множества достижимости к моменту t=t₁>t₀+h для исходной системы (1.1) и вырожденной (1.3), (1.4) при , фиксированном

где  – решение вырожденной системы (1.3), (1.4).

Тогда при 0<m£m₀ для , , справедливо неравенство:

Литература:

1. Кремлёв А.Г. Об оптимальном управлении ансамблем траекторий сингулярно возмущенной квазилинейной системы // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. № 11. С. 1892-1904.

2. Кремлёв А.Г. Аппроксимация оптимального решения в минимаксной задаче управления сингулярно возмущенной квазилинейной системой // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 6. С. 183-193.