Д.ф.м.н. Кремлев А.Г., Гребенникова И.В.
Уральский государственный университет, Россия
Об асимптотике ансамбля траекторий управляемой сингулярно возмущенной системы
с запаздыванием
Построение эффективных управляющих процедур для
реальных систем обусловлено точностью используемых математических моделей.
Детализация описания динамики управляемого процесса приводит к сложным
структурам (часто нелинейным), включающим различные особенности. Это может
определяться наличием нескольких взаимосвязанных подпроцессов с существенно
различными временными масштабами, и удобный способ формализации в этом случае –
введение сингулярных возмущений. Зависимость текущей скорости изменения
выходных переменных системы от их значений в предшествующие моменты времени
приводит к моделям, которые описываются дифференциальными уравнениями с
последействием. Указанные особенности в значительной мере затрудняют
использование известных результатов теории оптимального управления,
практическую реализацию употребляемых методов и схем решения. Поэтому важным
представляется качественное исследование асимптотических свойств управляемой
сингулярно возмущенных систем (ансамблей траекторий, множеств достижимости),
разработка на их основе аналитических способов представления (построения) решений.
§1. В данной работе
рассматриваются динамические объекты, математическими моделями которых являются
сингулярно возмущенные системы (с малым параметром m >0 при части производных) с запаздыванием h>0
(по состоянию) следующего вида:
(1.1)
где , – матрицы соответствующих размеров с непрерывными элементами. Начальное состояние системы x(t)=y(t), t0-h£t<t0, x(t0)=x0, y(t0)=y0 точно неизвестно и заданы лишь ограничения x0ÎX0, y0ÎY0, где X0, Y0 – выпуклые компакты в соответствующих пространствах, y(t)ÎY(t), tÎT, Y(t) – заданное многозначное отображение со значениями в виде выпуклых компактов (в Rn), непрерывное по t в метрике Хаусдорфа. Реализации u(t), tÎT – измеримые по Лебегу функции, удовлетворяющие условию , P – слабо компактное выпуклое множество в
Предположение 1. Собственные значения ls(t) матрицы A22(t) удовлетворяют неравенству: Re ls(t)<-2c<0 при tÎT, c=const>0.
Тогда при достаточно малых m (0<m£m0) фундаментальная матрица решений Y[t,t] системы , Y[t,t]=Em, Em – единичная матрица mm
при t0£t£t£t1 имеет оценку
(1.2)
с0>0 – некоторая постоянная, – евклидова норма.
Рассмотрим вырожденную систему, полученную из (1.1) при μ=0:
(1.3)
(1.4)
где tÎT, .
Пусть Z[t,t] и X[t,t] есть фундаментальные матрицы решений соответственно систем (1.1) и (1.3), (при uº0), причем X[t,t]=En, X[t,t]=0 при t>t.
Z[t,t] представим в следующем блочном виде Z[t,t]=En+m
,
здесь Z11[t,t], Z12[t,t], Z21[t,t], Z22[t,t] – матрицы с размерами соответственно nn, nm, mn, mm.
Применяя формулу Коши для каждого блока матрицы Z[t,t], получим следующее утверждение.
Лемма 1.1. Матрицы Zij[t,t], i,j=1,2, t0£t£t£t1, удовлетворяют уравнениям:
(1.5)
(1.6)
Уравнения (1.5) и (1.6) преобразуются к виду:
(1.7)
здесь матрица определяется формулой
Теорема 1. Существуют
такие достаточно малое число m0>0 и постоянная N>0, что в области 0<m£m0, t0£t£t£t1 выполняются оценки:
(1.8)
Доказательство.
Пользуясь методом последовательных приближений Пикара, решение (1.7) можно
представить как предел равномерно сходящейся на отрезке [t0,t1] последовательности (при 0<m£m0, m0 достаточно мало):
k=0,1,2,…;
В силу ограниченности X[t,t], с учетом оценки (1.2), при t0£t£t£t1, 0<m£m0 справедливы неравенства:
где N0>0, N1>0 – некоторые
постоянные. Отсюда непосредственно следует (при соответствующем выборе N) оценка для Z11[t,t] в (1.8). Аналогично получаются остальные неравенства, причем в области 0<m£m0, t0£t£t£t1 имеем:
k=0,1,2,…
Таким образом, получаем рекуррентные формулы для вычисления Zij[t,t], определяющие асимптотику фундаментальной матрицы:
k=0,1,2,…;
причем
Лемма 1.2. При 0<m£m0, m0 достаточно мало, для любых tÎT, t0£t£t-a(m), справедливы представления:
где при
§2. Введем следующие обозначения: t0£t£t1 – множество (ансамбль) траекторий системы (1.1), исходящих из Z0, при фиксированном .
Запишем систему (1.1) в виде
(2.1)
Применяя формулу Коши, выпишем решение (2.1) для t0£t£t1 при некоторых , причем при t0-h£t<t0:
Представим в виде
Пусть P={u(×) | u(t)ÎP(t), tÎT}, где P(t) –
заданное многозначное отображение со значениями в виде выпуклых компактов (в Rr), непрерывное по t в метрике Хаусдорфа.
Лемма 2.1. При 0<m£m0, m0 достаточно мало, для любых , справедливы асимптотические представления:
при t0£t£t1;
при t0+h+a(m)£t£t1.
Обозначим: , соответствующие проекции множества на пространства переменных или ; , аналогичные проекции множества .
Лемма 2.2. Существует m0
>0, что при 0<m£m0, , справедливы
представления – опорная функция множества X на элементе:
(i) равномерно по , ;
(ii) равномерно по , ;
Пусть и – множества
достижимости к моменту t=t1>t0+h для исходной системы (1.1)
и вырожденной (1.3), (1.4) при , фиксированном
где – решение вырожденной системы (1.3), (1.4).
Тогда при 0<m£m0 для , , справедливо неравенство:
Литература:
1. Кремлёв А.Г. Об оптимальном управлении ансамблем траекторий сингулярно возмущенной квазилинейной системы // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. № 11. С. 1892-1904.
2. Кремлёв А.Г. Аппроксимация оптимального решения в минимаксной задаче управления сингулярно возмущенной квазилинейной системой // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 6. С. 183-193.