Д.ф.м.н. Кремлев А.Г., Гребенникова И.В.

Уральский государственный университет, Россия

Об асимптотике ансамбля траекторий управляемой сингулярно возмущенной системы с запаздыванием

Построение эффективных управляющих процедур для реальных систем обусловлено точностью используемых математических моделей. Детализация описания динамики управляемого процесса приводит к сложным структурам (часто нелинейным), включающим различные особенности. Это может определяться наличием нескольких взаимосвязанных подпроцессов с существенно различными временными масштабами, и удобный способ формализации в этом случае – введение сингулярных возмущений. Зависимость текущей скорости изменения выходных переменных системы от их значений в предшествующие моменты времени приводит к моделям, которые описываются дифференциальными уравнениями с последействием. Указанные особенности в значительной мере затрудняют использование известных результатов теории оптимального управления, практическую реализацию употребляемых методов и схем решения. Поэтому важным представляется качественное исследование асимптотических свойств управляемой сингулярно возмущенных систем (ансамблей траекторий, множеств достижимости), разработка на их основе аналитических способов представления (построения) решений.

§1. В данной работе рассматриваются динамические объекты, математическими моделями которых являются сингулярно возмущенные системы (с малым параметром m >0 при части производных) с запаздыванием h>0 (по состоянию) следующего вида:

                                (1.1)

где , – матрицы соответствующих размеров с непрерывными элементами. Начальное состояние системы x(t)=y(t), t0-h£t<t0, x(t0)=x0, y(t0)=y0 точно неизвестно и заданы лишь ограничения x0ÎX0, y0ÎY0, где X0, Y0 – выпуклые компакты в соответствующих пространствах, y(t)ÎY(t), tÎT, Y(t) – заданное многозначное отображение со значениями в виде выпуклых компактов (в Rn), непрерывное по t в метрике Хаусдорфа. Реализации u(t), tÎT – измеримые по Лебегу функции, удовлетворяющие условию , P – слабо компактное выпуклое множество в

Предположение 1. Собственные значения ls(t) матрицы A22(t) удовлетворяют неравенству: Re ls(t)<-2c<0 при tÎT, c=const>0.

Тогда при достаточно малых m (0<m£m0) фундаментальная матрица решений Y[t,t] системы , Y[t,t]=Em, Em – единичная матрица mm

при t0£t£t£t1 имеет оценку

                                                                            (1.2)

с0>0 – некоторая постоянная,  – евклидова норма.

Рассмотрим вырожденную систему, полученную из (1.1) при μ=0:

                                                   (1.3)

                          (1.4)

где tÎT,   .

Пусть Z[t,t] и X[t,t] есть фундаментальные матрицы решений соответственно систем (1.1) и (1.3), (при uº0), причем X[t,t]=En, X[t,t]=0 при t>t.

Z[t,t] представим в следующем блочном виде Z[t,t]=En+m

,

здесь Z11[t,t], Z12[t,t], Z21[t,t], Z22[t,t] – матрицы с размерами соответственно nn, nm, mn, mm.

Применяя формулу Коши для каждого блока матрицы Z[t,t], получим следующее утверждение.

Лемма 1.1. Матрицы Zij[t,t], i,j=1,2, t0£t£t£t1, удовлетворяют уравнениям:

                                   (1.5)

                                                (1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) преобразуются к виду:

 (1.7)

здесь матрица  определяется формулой

Теорема 1. Существуют такие достаточно малое число m0>0 и постоянная N>0, что в области 0<m£m0, t0£t£t£t1 выполняются оценки:

 

                                                                (1.8)

Доказательство. Пользуясь методом последовательных приближений Пикара, решение (1.7) можно представить как предел равномерно сходящейся на отрезке [t0,t1] последовательности (при 0<m£m0, m0 достаточно мало):

   k=0,1,2,…;

В силу ограниченности X[t,t], с учетом оценки (1.2), при t0£t£t£t1, 0<m£m0 справедливы неравенства:

где N0>0, N1>0 – некоторые постоянные. Отсюда непосредственно следует (при соответствующем выборе N) оценка для Z11[t,t] в (1.8). Аналогично получаются остальные неравенства, причем в области 0<m£m0, t0£t£t£t1 имеем:

             k=0,1,2,…

Таким образом, получаем рекуррентные формулы для вычисления Zij[t,t], определяющие асимптотику фундаментальной матрицы:

  k=0,1,2,…;

причем

Лемма 1.2. При 0<m£m0, m0 достаточно мало, для любых tÎT, t0£t£t-a(m), справедливы представления:

где   при

§2. Введем следующие обозначения:    t0£t£t1 – множество (ансамбль) траекторий  системы (1.1), исходящих из Z0,  при фиксированном .

Запишем систему (1.1) в виде

                                           (2.1)

  

Применяя формулу Коши, выпишем решение (2.1) для t0£t£t1 при некоторых , причем  при t0-h£t<t0:

Представим в виде

Пусть P={u(×) | u(t)ÎP(t), tÎT}, где P(t) – заданное многозначное отображение со значениями в виде выпуклых компактов (в Rr), непрерывное по t в метрике Хаусдорфа.

Лемма 2.1. При 0<m£m0, m0 достаточно мало, для любых  ,  справедливы асимптотические представления:

 при t0£t£t1;

 при t0+h+a(m)£t£t1.

Обозначим: ,  соответствующие проекции множества  на пространства переменных  или ; ,  аналогичные проекции множества .

Лемма 2.2. Существует m0 >0, что при 0<m£m0, ,  справедливы представления  – опорная функция множества X на  элементе:

(i)      равномерно по , ;

(ii)      равномерно по , ;

Пусть  и  – множества достижимости к моменту t=t1>t0+h для исходной системы (1.1) и вырожденной (1.3), (1.4) при  , фиксированном

  где  – решение вырожденной системы (1.3), (1.4).

Тогда при 0<m£m0 для , ,   справедливо неравенство:

 

Литература:

1. Кремлёв А.Г. Об оптимальном управлении ансамблем траекторий сингулярно возмущенной квазилинейной системы // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30. № 11. С. 1892-1904.

2. Кремлёв А.Г. Аппроксимация оптимального решения в минимаксной задаче управления сингулярно возмущенной квазилинейной системой // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1994. № 6. С. 183-193.