К. ф.-м. н. Украинец В.Н.

Павлодарский государственный университет, Казахстан

Сравнительный анализ динамического поведения поверхности полупространства при воздействии подвижной касательной нагрузки на неподкреплённую и подкреплённую полость

Движение периодической нагрузки вдоль цилиндрической полости в упругом полупространстве изучалось в работе [1], где в качестве примера приведены результаты расчёта напряжённо-деформированного состояния (НДС) массива в окрестности неподкреплённого тоннеля при воздействии на него подвижной осесимметричной нормальной нагрузки и показано, что при мелком заложении тоннеля земная поверхность испытывает существенные динамические деформации, которые могут в значительной мере повлиять на работоспособность расположенных вблизи зданий и сооружений.

Вследствие того, что транспортируемые по тоннелям объекты, помимо нормальных нагрузок, за счёт трения передают на поверхность тоннеля осевые касательные нагрузки, возникает необходимость в исследовании НДС массива при воздействии последних. Для неподкреплённой полости такие исследования проведены в [2]. Решение задачи о действии бегущей нагрузки на подкреплённую тонкой оболочкой полость в упругом полупространстве получено в [3]. В этих работах, в отличие от [1], полагалось, что функция нагрузки может быть разложены в ряд Фурье по угловой координате и интеграл Фурье по осевой координате. В настоящей работе, используя решения [2, 3] проводится численный сравнительный анализ напряжённо-деформированного состояния поверхности полупространства при воздействии подвижной осевой касательной нагрузки на неподкреплённую и подкреплённую тонкой упругой оболочкой круговую цилиндрическую полость.

1. Рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость радиусом R в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве с параметрами Ламе l, m и плотностью r. Введём декартовую систему координат, ось Z которой совпадает с осью полости, параллельной свободной от нагрузок плоской границе полупространства, а ось X перпендикулярна к этой границе: , где h – расстояние от оси полости до границы полупространства.

В случае неподкреплённой полости осевая касательная нагрузка Р_Z, совпадающая по направлению с осью Z, движется по поверхности полости с постоянной скоростью с в направлении Z [2]

,

где s_rj (j = h, q, r), Р_h(θ,h) – соответственно компоненты тензора напряжений в среде и интенсивность касательной нагрузки в подвижной цилиндрической (r, q, h = z – ct) системе координат.

Если полость подкреплена тонкой оболочкой, то тоже движение происходит по внутренней поверхности оболочки [3]

,

где u_0h, u_0q, u_0r – перемещения точек срединной поверхности оболочки; q_h, q_q, q_r – составляющие реакции окружающей оболочку среды (при r = R q_h = s_rh, q_q = s_rq, q_r = s_rr); n₀, m₀, r₀ – соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала оболочки, h₀ – её толщина.

Полагаем, что контакт между оболочкой и средой жёсткий, то есть

.

Здесь u_r, u_q, u_h – компоненты вектора смещения упругой среды u.

Так как граница полупространства свободна от нагрузок, то при x = h

.

Уравнения движения среды можно представить в форме

,

где M_p = c/c_p, M_s = c/c_s – числа Маха; c_p, c_s –скорости распространения волн расширения – сжатия и сдвига в среде, или

,

где М₁ = М_p, М₂ = М₃ = М_s, j_j – потенциалы Ламе.

Применив к последним уравнениям преобразование Фурье по h, находим

.

Здесь , .

Представив компоненты напряжённо-деформированного состояния среды через потенциалы Ламе и применив преобразование Фурье по h, можно получить выражения для трансформант перемещений u_i^* и напряжений s_ij^* в декартовой (i = x,y,h, j = x,y,h) и цилиндрической (i = r,q,h, j = r,q,h) системах координат как функции от j_j^*.

Решения последних уравнений для дорелеевских скоростей движения нагрузки в случае неподкреплённой и подкреплённой полости получены соответственно в работах [2] и [3]. Определив трансформанты, используя обратное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты НДС среды в декартовой и цилиндрической системах координат.

2. Проведём сравнительный анализ напряжённо-деформированного состояния поверхности полупространства при воздействии подвижной осевой касательной нагрузки на неподкреплённую и подкреплённую тонкой упругой оболочкой круговую цилиндрическую полость.

Расчётные параметры: l = 1,688×10⁹ Па, m = 2,532×10⁹ Па, r = 2,5×10³ кг/м³, n₀ = 0,3, m₀ = 5,77×10¹⁰Па, r₀ = 7,2×10³кг/м³, R = 1м, h₀ = 0,05R, h = 2R. Равномерно приложенная в интервале |h| £ 0,2R осесимметричная осевая нагрузка P_h (результат действия на поверхность полости или на внутреннюю поверхность оболочки сил трения), движется вдоль полости с постоянной скоростью c = 100м/с. Интенсивность нагрузки выбиралась таким образом, чтобы общая нагрузка по всей длине участка нагружения равнялась сосредоточенной касательной кольцевой нагрузке P^°.

На рис. 1 в координатной плоскости Xh показаны кривые изменений осевых перемещений u^°_h= u_hm/P^° и нормальных напряжений s^°_ηη = s_ηη/P^° по границе полупространства для неподкреплённой (кривые 1) и подкреплённой (кривые 2) полости. Из анализа поведения кривых следует, что влияние сил трения на напряжённо-деформированное состояние поверхности полупространства при подкреплении полости снижается.

а

б

Рис. 1 – Изменения осевых перемещений (а) и нормальных напряжений (б) по границе полупространства

Литература:

1. Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Влияние свободной поверхности на тоннель мелкого заложения при действии подвижных нагрузок //Известия АН КазССР. Сер. физ.-матем. – 1986. – №5. – С. 75–80.

2. Украинец В.Н. Напряжённо-деформированное состояние массива пород при действии бегущей вдоль тоннеля касательной нагрузки //Вестник СибАДИ. – Омск, 2006. – №4.

3 Украинец В.Н. Задача о действии бегущей стационарной нагрузки на подкреплённую тонкой оболочкой полость в упругом полупространстве //Дни науки – 2006: материалы II Межд. науч.-практ. конф. – Днепропетровск, 2006. – Т. 8. – С. 45-47.