Хома-Могильська С.Г.
Тернопільський державний
економічний університет
Існування
періодичного розв’язку загальної крайової задачі для неоднорідного лінійного
гіперболічного рівняння другого порядку
Розглянемо таку загальну крайову періодичну задачу:
, , (1)
, , , (2)
, , . (3)
Встановимо умови, при яких існують класичні розв’язки задачі (1)–(3). Для
цього використаємо доведені нами раніше такі результати.
Теорема 1 [1, с. 918]. Якщо , то функція
(4)
є єдиним класичним розв’язком крайової –періодичної задачі
, , (5)
, , , (6)
, , . (7)
Лема 1. Якщо , то .
Доведення. Справді, при маємо
.
Оскільки тут
, ,
то , , що й потрібно було довести.
Теорема 2. Якщо , то функція
(8)
є єдиним
класичним розв’язком крайової –періодичної задачі
, , (9)
, , (10)
, , . (11)
Зведення загальної крайової задачі (1), (2) до відповідної крайової
задачі (5), (6) з нульовими крайовими умовами проводиться здебільшого
з допомогою відомої [2, с. 103] класичної заміни функцій
, (12)
де – нова шукана функція,
а .
При такій заміні (12) функція визначається за
формулою
. (13)
Через наявність аргументу х у формулі (13) нова функція не буде належати ні , ні . Тому вивчати питання про існування –періодичних розв’язків задачі (1)–(3) на підставі формул
(4), (8) неможливо.
Розв’язність задачі (1)–(3) дозволяє дослідити нова заміна функцій
, (14)
де
. (15)
Якщо застосувати заміну (14), то шукана функція повинна задовольняти
рівняння , де
. (16)
Лема 2. Якщо і , , , то функція , визначена згідно з формулою (16), також належить .
Доведення. Справді, якщо виконуються умови леми 2, то і , що й потрібно було довести.
Теорема 3. Якщо , , , , , , то функція , де визначена формулою (8), а визначена формулою
(16), є єдиним розв’язком крайової періодичної задачі (1)–(3).
Аналогічний результат можна сформулювати і для просторів , .
Література:
1. Митропольський Ю. О.,
Хома-Могильська С. Г. Умови існування розв’язків крайової періодичної
задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку. I
//Укр. мат. журн. – 2005. –57, № 7. – С.912–921.
2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука,
1977. – 735 с.