Хома-Могильська С.Г.

Тернопільський державний економічний університет

Існування періодичного розв’язку загальної крайової задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку

 

Розглянемо таку загальну крайову періодичну задачу:

,       ,                   (1)

,    ,    ,                 (2)

,   ,    .               (3)

Встановимо умови, при яких існують класичні розв’язки задачі (1)–(3). Для цього використаємо доведені нами раніше такі результати.

Теорема 1 [1, с. 918]. Якщо  , то функція

                 (4)

є єдиним класичним розв’язком крайової –періодичної задачі

,      ,                     (5)

,   ,    ,                              (6)

,   ,   .                 (7)

Лема 1. Якщо , то .

Доведення. Справді, при  маємо

.

Оскільки тут  

,       ,

то ,  , що й потрібно було довести.

Теорема 2. Якщо , то функція

                               (8)

є єдиним класичним  розв’язком крайової –періодичної задачі

,        ,                 (9)

,    ,                                  (10)

,   ,   .                 (11)

Зведення загальної крайової задачі (1), (2) до відповідної крайової задачі (5), (6) з нульовими крайовими умовами  проводиться зде­більшого з допомогою відомої [2, с. 103] класичної заміни функцій

,       (12)

де  – нова шукана функція, а .

При такій заміні (12) функція  визначається за формулою

.                          (13)

Через наявність аргументу х у формулі (13) нова функція  не буде належати ні , ні . Тому вивчати питання про існування –періодичних розв’язків задачі (1)–(3) на підставі формул (4), (8) неможливо.

Розв’язність задачі (1)–(3) дозволяє дослідити нова заміна функцій

,                                     (14)

де

.                            (15)

Якщо застосувати заміну (14), то шукана функція  повинна задовольняти рівняння , де

.                          (16)

Лема 2. Якщо  і  , , , то функція , визначена згідно з формулою (16), також належить .

Доведення. Справді, якщо виконуються умови леми 2, то  і , що й потрібно було довести.

Теорема 3. Якщо , , , , , , то функція , де  визначена формулою (8), а  визначена формулою (16), є єдиним розв’язком крайової періодичної задачі (1)–(3).

Аналогічний результат можна сформулювати і для просторів , .

 

Література:

1.     Митропольський Ю. О., Хома-Могильська С. Г. Умови існування розв’язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку. I //Укр. мат. журн. – 2005. –57, № 7. – С.912–921.

2.     Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 735 с.