Кульжумиева А.А., Сартабанов Ж.А.

Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова, Казахстан

Голоморфность периодических колебаний в нелинейной системе многомерного времени с переменным периодом относительно малого параметра

Рассмотрим нелинейную систему многомерного времени с малым параметром ,

. (1)

Здесь – дифференциальный оператор, – -вектор, – знак скалярного произведения, – характеристика оператора , – -матрица, постоянная на диагонали пространства , – заданная -вектор-функция.

Пусть матрица будет -периодической и непрерывно дифференцируемой по ; вектор-функция по отношению к будет непрерывной и -периодической, при этом – некоторая -периодическая положительная непрерывно дифференцируемая функция, а по -периодической и непрерывно дифференцируемой, по непрерывно дифференцируемой и непрерывной по ; , – несоизмеримые положительные постоянные. Пусть также – аналитическая функция переменных и , при достаточно малых ее значениях, в области .

Задача заключается в отыскании -периодических колебаний системы вида (1).

Очевидно, что при сделанных предположениях для всех и , удовлетворяющих неравенствам , имеет место разложение вектор-функции в ряд по степеням и :

, (2)

где – мультииндекс, , . Кроме того, коэффициенты разложения (2) являются -периодическими вектор-функциями и удовлетворяют неравенствам Коши

,

где – некоторая постоянная.

Согласно общей идее метода Пуанкаре из [1,3] мы должны, прежде всего, найти периодические решения порождающей системы

, (3)

которая получается из системы (1), если в ней отбросить члены, содержащие .

Предположим, что порождающая система (3) – некритическая, т. е. собственные значения , либо тождественно равны между собой, либо различны для всех , -периодические и непрерывно дифференцируемые в комплекснозначные функции, причем для всех . Следовательно, система (3) имеет единственное тривиальное -периодическое решение.

Теперь перейдем к вопросу о вычислении искомого -периодического решения. Будем искать периодическое решение в виде ряда

, (4)

где – некоторые неизвестные -периодические функции.

Для нахождения этих функций подставим ряд (4) в систему (1) с учетом (2)

(5)

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Тогда, как легко видеть из (5), для получится уравнение

, (6)

а для – уравнения вида

. (7)

Таким образом, вычисление функций приводится к вычислению частных периодических решений уравнений (6) и (7). В дальнейшем, при нахождении этих решений будем предполагать выполненным условие некритичности вида

при

с постоянными и . Очевидно, что матрицант удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему уравнениям (6), (7) и обладает свойством диагональной -периодичности по и -периодичности по .

Нетрудно показать, что интегральные представления

,

являются частными -периодическими решениями уравнений (6) и (7), для которых справедливы оценки вида

, ,

где .

Итак, ряд (4), коэффициенты которого определены из (6) и (7), формально может рассматриваться как -периодическое решение нелинейной системы (1).

Сходимость ряда (4) исследуется по методике работы [2].

Теорема. Если порождающая система – некритическая и выполняются все сделанные предположения, то нелинейная система (1) имеет единственное -периодическое решение

,

голоморфное относительно параметра при , которое стремится при к .

Данное исследование является продолжением исследований, проведенных в [4-6].

Литература:

1. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТЛ, 1956. – 492 с.

2. Лика Д. К., Рябов Ю. А. Методы итерации и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев, 1974. – 291 с.

3. Умбетжанов Д. У. Почти многопериодические решения в частных производных. Алма-Ата: Наука, 1979. – 210 с.

4. Кульжумиева А. А., Сартабанов Ж. А. Исследование колебаний в системах дифференциальных уравнений многомерного времени с переменными периодами // Материалы I Международной научно-практической конференции «Европейская наука XXI столетия: стратегия и перспективы развития – 2006» т. 6, (22-31 мая 2006г., Днепропетровск). С. 3-6.

5. Кульжумиева А.А., Сартабанов Ж.А. Многопериодические решения систем дифференциальных уравнений с многомерным временем и переменным периодом // Тезисы докладов международной математической конференции «Еругинские чтения – Х» (24-26 мая, 2005г., Могилев). С. 71-72.

6. Кульжумиева А.А. О построении периодического решения нелинейных систем многомерного времени с переменным периодом // Республиканская научно-практическая конференция молодых ученых, студентов и школьников, посвященная 60-летию Победы в Великой Отечественной войне «Жас ғалым – 2005» (26-27 апреля, 2005 г., Тараз). С. 13-17.